Математический анализ Примеры

$f (x) = \sqrt{x + 1}$

Step 1

Чтобы найти функцию $F (x)$ , найдем неопределенный интеграл производной $f (x)$ .

$F (x) = \int f (x) d x$

Step 2

Составим интеграл, чтобы решить его.

$F (x) = \int \sqrt{x + 1} d x$

Step 3

Пусть $u = x + 1$ . Тогда $d u = d x$ . Перепишем, используя $u$ и $d$ $u$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Пусть $u = x + 1$ . Найдем $\frac{d u}{d x}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Дифференцируем $x + 1$ .

$\frac{d}{d x} [x + 1]$

По правилу суммы производная $x + 1$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1]$ .

$\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1]$

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$1 + \frac{d}{d x} [1]$

Поскольку $1$ является константой относительно $x$ , производная $1$ относительно $x$ равна $0$ .

$1 + 0$

Добавим $1$ и $0$ .

$1$

Переформулируем задачу с помощью $u$ и $d u$ .

$\int \sqrt{u} d u$

Step 4

С помощью $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ запишем $\sqrt{u}$ в виде $u^{\frac{1}{2}}$ .

$\int u^{\frac{1}{2}} d u$

Step 5

По правилу степени интеграл $u^{\frac{1}{2}}$ по $u$ имеет вид $\frac{2}{3} u^{\frac{3}{2}}$ .

$\frac{2}{3} u^{\frac{3}{2}} + C$

Step 6

Заменим все вхождения $u$ на $x + 1$ .

$\frac{2}{3} {(x + 1)}^{\frac{3}{2}} + C$

Step 7

Ответ ― первообразная функции $f (x) = \sqrt{x + 1}$ .

$F (x) =$ $\frac{2}{3} {(x + 1)}^{\frac{3}{2}} + C$