Математический анализ Примеры

$lim_{x \to \infty} \frac{4 x + 1}{12 x^{2} - 7}$

Step 1

Разделим числитель и знаменатель на $x$ в наибольшей степени в знаменателе, т. е. $x^{2}$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{\frac{4 x}{x^{2}} + \frac{1}{x^{2}}}{\frac{12 x^{2}}{x^{2}} + \frac{- 7}{x^{2}}}$

Step 2

Вычислим предел.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Сократим общий множитель $x$ и $x^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Вынесем множитель $x$ из $4 x$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{\frac{x \cdot 4}{x^{2}} + \frac{1}{x^{2}}}{\frac{12 x^{2}}{x^{2}} + \frac{- 7}{x^{2}}}$

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Вынесем множитель $x$ из $x^{2}$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{\frac{x \cdot 4}{x \cdot x} + \frac{1}{x^{2}}}{\frac{12 x^{2}}{x^{2}} + \frac{- 7}{x^{2}}}$

Сократим общий множитель.

$lim_{x \to \infty} \frac{\frac{x \cdot 4}{x \cdot x} + \frac{1}{x^{2}}}{\frac{12 x^{2}}{x^{2}} + \frac{- 7}{x^{2}}}$

Перепишем это выражение.

$lim_{x \to \infty} \frac{\frac{4}{x} + \frac{1}{x^{2}}}{\frac{12 x^{2}}{x^{2}} + \frac{- 7}{x^{2}}}$

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Сократим общий множитель $x^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Сократим общий множитель.

$lim_{x \to \infty} \frac{\frac{4}{x} + \frac{1}{x^{2}}}{\frac{12 x^{2}}{x^{2}} + \frac{- 7}{x^{2}}}$

Разделим $12$ на $1$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{\frac{4}{x} + \frac{1}{x^{2}}}{12 + \frac{- 7}{x^{2}}}$

Вынесем знак минуса перед дробью.

$lim_{x \to \infty} \frac{\frac{4}{x} + \frac{1}{x^{2}}}{12 - \frac{7}{x^{2}}}$

Разобьем предел с помощью правила частного пределов при стремлении $x$ к $\infty$ .

$\frac{lim_{x \to \infty} \frac{4}{x} + \frac{1}{x^{2}}}{lim_{x \to \infty} 12 - \frac{7}{x^{2}}}$

Разобьем предел с помощью правила суммы пределов при стремлении $x$ к $\infty$ .

$\frac{lim_{x \to \infty} \frac{4}{x} + lim_{x \to \infty} \frac{1}{x^{2}}}{lim_{x \to \infty} 12 - \frac{7}{x^{2}}}$

Вынесем член $4$ из-под знака предела, так как он не зависит от $x$ .

$\frac{4 lim_{x \to \infty} \frac{1}{x} + lim_{x \to \infty} \frac{1}{x^{2}}}{lim_{x \to \infty} 12 - \frac{7}{x^{2}}}$

Step 3

Поскольку числитель стремится к вещественному числу, а знаменатель неограничен, дробь $\frac{1}{x}$ стремится к $0$ .

$\frac{4 \cdot 0 + lim_{x \to \infty} \frac{1}{x^{2}}}{lim_{x \to \infty} 12 - \frac{7}{x^{2}}}$

Step 4

Поскольку числитель стремится к вещественному числу, а знаменатель неограничен, дробь $\frac{1}{x^{2}}$ стремится к $0$ .

$\frac{4 \cdot 0 + 0}{lim_{x \to \infty} 12 - \frac{7}{x^{2}}}$

Step 5

Вычислим предел.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Разобьем предел с помощью правила суммы пределов при стремлении $x$ к $\infty$ .

$\frac{4 \cdot 0 + 0}{lim_{x \to \infty} 12 - lim_{x \to \infty} \frac{7}{x^{2}}}$

Найдем предел $12$ , который является константой по мере приближения $x$ к $\infty$ .

$\frac{4 \cdot 0 + 0}{12 - lim_{x \to \infty} \frac{7}{x^{2}}}$

Вынесем член $7$ из-под знака предела, так как он не зависит от $x$ .

$\frac{4 \cdot 0 + 0}{12 - 7 lim_{x \to \infty} \frac{1}{x^{2}}}$

Step 6

$\frac{4 \cdot 0 + 0}{12 - 7 \cdot 0}$

Step 7

Упростим ответ.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Сократим общий множитель $4 \cdot 0 + 0$ и $12 - 7 \cdot 0$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Перепишем $12$ в виде $- 1 (- 12)$ .

$\frac{4 \cdot 0 + 0}{- 1 (- 12) - 7 \cdot 0}$

Вынесем множитель $- 1$ из $- 7 \cdot 0$ .

$\frac{4 \cdot 0 + 0}{- 1 (- 12) - (7 \cdot 0)}$

Вынесем множитель $- 1$ из $- 1 (- 12) - (7 \cdot 0)$ .

$\frac{4 \cdot 0 + 0}{- 1 (- 12 + 7 \cdot 0)}$

Изменим порядок членов.

$\frac{4 \cdot 0 + 0}{- 1 (- 12 + 0 \cdot 7)}$

Вынесем множитель $12$ из $4 \cdot 0$ .

$\frac{12 (4 \cdot 0) + 0}{- 1 (- 12 + 0 \cdot 7)}$

Вынесем множитель $12$ из $0$ .

$\frac{12 (4 \cdot 0) + 12 (0)}{- 1 (- 12 + 0 \cdot 7)}$

Вынесем множитель $12$ из $12 (4 \cdot 0) + 12 (0)$ .

$\frac{12 (4 \cdot 0 + 0)}{- 1 (- 12 + 0 \cdot 7)}$

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Вынесем множитель $12$ из $- 1 (- 12 + 0 \cdot 7)$ .

$\frac{12 (4 \cdot 0 + 0)}{12 (- 1 (- 1 + 0 \cdot 7))}$

Сократим общий множитель.

$\frac{12 (4 \cdot 0 + 0)}{12 (- 1 (- 1 + 0 \cdot 7))}$

Перепишем это выражение.

$\frac{4 \cdot 0 + 0}{- 1 (- 1 + 0 \cdot 7)}$

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Умножим $4$ на $0$ .

$\frac{0 + 0}{- 1 (- 1 + 0 \cdot 7)}$

Добавим $0$ и $0$ .

$\frac{0}{- 1 (- 1 + 0 \cdot 7)}$

Упростим знаменатель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Умножим $0$ на $7$ .

$\frac{0}{- 1 (- 1 + 0)}$

Добавим $- 1$ и $0$ .

$\frac{0}{- 1 \cdot - 1}$

Умножим $- 1$ на $- 1$ .

$\frac{0}{1}$

Разделим $0$ на $1$ .

$0$