Математический анализ Примеры

$lim_{x \to 3} \frac{\sqrt{x^{2} + 16} - 5}{x - 3}$

Step 1

Применим правило Лопиталя.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Найдем предел числителя и предел знаменателя.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Возьмем предел числителя и предел знаменателя.

$\frac{lim_{x \to 3} \sqrt{x^{2} + 16} - 5}{lim_{x \to 3} x - 3}$

Найдем предел числителя.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Вычислим предел.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Разобьем предел с помощью правила суммы пределов при стремлении $x$ к $3$ .

$\frac{lim_{x \to 3} \sqrt{x^{2} + 16} - lim_{x \to 3} 5}{lim_{x \to 3} x - 3}$

Внесем предел под знак радикала.

$\frac{\sqrt{lim_{x \to 3} x^{2} + 16} - lim_{x \to 3} 5}{lim_{x \to 3} x - 3}$

Разобьем предел с помощью правила суммы пределов при стремлении $x$ к $3$ .

$\frac{\sqrt{lim_{x \to 3} x^{2} + lim_{x \to 3} 16} - lim_{x \to 3} 5}{lim_{x \to 3} x - 3}$

Вынесем степень $2$ в выражении $x^{2}$ из-под знака предела по правилу степени для пределов.

$\frac{\sqrt{{(lim_{x \to 3} x)}^{2} + lim_{x \to 3} 16} - lim_{x \to 3} 5}{lim_{x \to 3} x - 3}$

Найдем предел $16$ , который является константой по мере приближения $x$ к $3$ .

$\frac{\sqrt{{(lim_{x \to 3} x)}^{2} + 16} - lim_{x \to 3} 5}{lim_{x \to 3} x - 3}$

Найдем предел $5$ , который является константой по мере приближения $x$ к $3$ .

$\frac{\sqrt{{(lim_{x \to 3} x)}^{2} + 16} - 1 \cdot 5}{lim_{x \to 3} x - 3}$

Найдем предел $x$ , подставив значение $3$ для $x$ .

$\frac{\sqrt{3^{2} + 16} - 1 \cdot 5}{lim_{x \to 3} x - 3}$

Упростим ответ.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Возведем $3$ в степень $2$ .

$\frac{\sqrt{9 + 16} - 1 \cdot 5}{lim_{x \to 3} x - 3}$

Добавим $9$ и $16$ .

$\frac{\sqrt{25} - 1 \cdot 5}{lim_{x \to 3} x - 3}$

Перепишем $25$ в виде $5^{2}$ .

$\frac{\sqrt{5^{2}} - 1 \cdot 5}{lim_{x \to 3} x - 3}$

Вынесем члены из-под знака корня, предполагая, что вещественные числа являются положительными.

$\frac{5 - 1 \cdot 5}{lim_{x \to 3} x - 3}$

Умножим $- 1$ на $5$ .

$\frac{5 - 5}{lim_{x \to 3} x - 3}$

Вычтем $5$ из $5$ .

$\frac{0}{lim_{x \to 3} x - 3}$

Найдем предел знаменателя.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Вычислим предел.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Разобьем предел с помощью правила суммы пределов при стремлении $x$ к $3$ .

$\frac{0}{lim_{x \to 3} x - lim_{x \to 3} 3}$

Найдем предел $3$ , который является константой по мере приближения $x$ к $3$ .

$\frac{0}{lim_{x \to 3} x - 1 \cdot 3}$

Найдем предел $x$ , подставив значение $3$ для $x$ .

$\frac{0}{3 - 1 \cdot 3}$

Упростим ответ.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Умножим $- 1$ на $3$ .

$\frac{0}{3 - 3}$

Вычтем $3$ из $3$ .

$\frac{0}{0}$

Выражение содержит деление на $0$ . Выражение не определено.

Неопределенные

$\frac{0}{0}$

Выражение содержит деление на $0$ . Выражение не определено.

Неопределенные

$\frac{0}{0}$

Выражение содержит деление на $0$ . Выражение не определено.

Неопределенные

$\frac{0}{0}$

Поскольку $\frac{0}{0}$ является неопределенной формой, применяется правило Лопиталя. Правило Лопиталя гласит, что предел отношения функций равен пределу отношения их производных.

$lim_{x \to 3} \frac{\sqrt{x^{2} + 16} - 5}{x - 3} = lim_{x \to 3} \frac{\frac{d}{d x} [\sqrt{x^{2} + 16} - 5]}{\frac{d}{d x} [x - 3]}$

Найдем производную числителя и знаменателя.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Продифференцируем числитель и знаменатель.

$lim_{x \to 3} \frac{\frac{d}{d x} [\sqrt{x^{2} + 16} - 5]}{\frac{d}{d x} [x - 3]}$

По правилу суммы производная $\sqrt{x^{2} + 16} - 5$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [\sqrt{x^{2} + 16}] + \frac{d}{d x} [- 5]$ .

$lim_{x \to 3} \frac{\frac{d}{d x} [\sqrt{x^{2} + 16}] + \frac{d}{d x} [- 5]}{\frac{d}{d x} [x - 3]}$

Найдем значение $\frac{d}{d x} [\sqrt{x^{2} + 16}]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

С помощью $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ запишем $\sqrt{x^{2} + 16}$ в виде ${(x^{2} + 16)}^{\frac{1}{2}}$ .

$lim_{x \to 3} \frac{\frac{d}{d x} [{(x^{2} + 16)}^{\frac{1}{2}}] + \frac{d}{d x} [- 5]}{\frac{d}{d x} [x - 3]}$

Продифференцируем, используя цепное правило (правило дифференцирования сложной функции), которое гласит, что $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ имеет вид $f' (g (x)) g' (x)$ , где $f (x) = x^{\frac{1}{2}}$ и $g (x) = x^{2} + 16$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Чтобы применить цепное правило, зададим $u$ как $x^{2} + 16$ .

$lim_{x \to 3} \frac{\frac{d}{d u} [u^{\frac{1}{2}}] \frac{d}{d x} [x^{2} + 16] + \frac{d}{d x} [- 5]}{\frac{d}{d x} [x - 3]}$

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ имеет вид $n u^{n - 1}$ , где $n = \frac{1}{2}$ .

$lim_{x \to 3} \frac{\frac{1}{2} u^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} [x^{2} + 16] + \frac{d}{d x} [- 5]}{\frac{d}{d x} [x - 3]}$

Заменим все вхождения $u$ на $x^{2} + 16$ .

$lim_{x \to 3} \frac{\frac{1}{2} {(x^{2} + 16)}^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} [x^{2} + 16] + \frac{d}{d x} [- 5]}{\frac{d}{d x} [x - 3]}$

По правилу суммы производная $x^{2} + 16$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [16]$ .

$lim_{x \to 3} \frac{\frac{1}{2} {(x^{2} + 16)}^{\frac{1}{2} - 1} (\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [16]) + \frac{d}{d x} [- 5]}{\frac{d}{d x} [x - 3]}$

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 2$ .

$lim_{x \to 3} \frac{\frac{1}{2} {(x^{2} + 16)}^{\frac{1}{2} - 1} (2 x + \frac{d}{d x} [16]) + \frac{d}{d x} [- 5]}{\frac{d}{d x} [x - 3]}$

Поскольку $16$ является константой относительно $x$ , производная $16$ относительно $x$ равна $0$ .

$lim_{x \to 3} \frac{\frac{1}{2} {(x^{2} + 16)}^{\frac{1}{2} - 1} (2 x + 0) + \frac{d}{d x} [- 5]}{\frac{d}{d x} [x - 3]}$

Чтобы записать $- 1$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{2}{2}$ .

$lim_{x \to 3} \frac{\frac{1}{2} {(x^{2} + 16)}^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}} (2 x + 0) + \frac{d}{d x} [- 5]}{\frac{d}{d x} [x - 3]}$

Объединим $- 1$ и $\frac{2}{2}$ .

$lim_{x \to 3} \frac{\frac{1}{2} {(x^{2} + 16)}^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}} (2 x + 0) + \frac{d}{d x} [- 5]}{\frac{d}{d x} [x - 3]}$

Объединим числители над общим знаменателем.

$lim_{x \to 3} \frac{\frac{1}{2} {(x^{2} + 16)}^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}} (2 x + 0) + \frac{d}{d x} [- 5]}{\frac{d}{d x} [x - 3]}$

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Умножим $- 1$ на $2$ .

$lim_{x \to 3} \frac{\frac{1}{2} {(x^{2} + 16)}^{\frac{1 - 2}{2}} (2 x + 0) + \frac{d}{d x} [- 5]}{\frac{d}{d x} [x - 3]}$

Вычтем $2$ из $1$ .

$lim_{x \to 3} \frac{\frac{1}{2} {(x^{2} + 16)}^{\frac{- 1}{2}} (2 x + 0) + \frac{d}{d x} [- 5]}{\frac{d}{d x} [x - 3]}$

Вынесем знак минуса перед дробью.

$lim_{x \to 3} \frac{\frac{1}{2} {(x^{2} + 16)}^{- \frac{1}{2}} (2 x + 0) + \frac{d}{d x} [- 5]}{\frac{d}{d x} [x - 3]}$

Добавим $2 x$ и $0$ .

$lim_{x \to 3} \frac{\frac{1}{2} {(x^{2} + 16)}^{- \frac{1}{2}} (2 x) + \frac{d}{d x} [- 5]}{\frac{d}{d x} [x - 3]}$

Объединим $\frac{1}{2}$ и ${(x^{2} + 16)}^{- \frac{1}{2}}$ .

$lim_{x \to 3} \frac{\frac{{(x^{2} + 16)}^{- \frac{1}{2}}}{2} (2 x) + \frac{d}{d x} [- 5]}{\frac{d}{d x} [x - 3]}$

Объединим $2$ и $\frac{{(x^{2} + 16)}^{- \frac{1}{2}}}{2}$ .

$lim_{x \to 3} \frac{\frac{2 {(x^{2} + 16)}^{- \frac{1}{2}}}{2} x + \frac{d}{d x} [- 5]}{\frac{d}{d x} [x - 3]}$

Объединим $\frac{2 {(x^{2} + 16)}^{- \frac{1}{2}}}{2}$ и $x$ .

$lim_{x \to 3} \frac{\frac{2 {(x^{2} + 16)}^{- \frac{1}{2}} x}{2} + \frac{d}{d x} [- 5]}{\frac{d}{d x} [x - 3]}$

Перенесем ${(x^{2} + 16)}^{- \frac{1}{2}}$ в знаменатель, используя правило отрицательных степеней $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$lim_{x \to 3} \frac{\frac{2 x}{2 {(x^{2} + 16)}^{\frac{1}{2}}} + \frac{d}{d x} [- 5]}{\frac{d}{d x} [x - 3]}$

Сократим общий множитель.

$lim_{x \to 3} \frac{\frac{2 x}{2 {(x^{2} + 16)}^{\frac{1}{2}}} + \frac{d}{d x} [- 5]}{\frac{d}{d x} [x - 3]}$

Перепишем это выражение.

$lim_{x \to 3} \frac{\frac{x}{{(x^{2} + 16)}^{\frac{1}{2}}} + \frac{d}{d x} [- 5]}{\frac{d}{d x} [x - 3]}$

Поскольку $- 5$ является константой относительно $x$ , производная $- 5$ относительно $x$ равна $0$ .

$lim_{x \to 3} \frac{\frac{x}{{(x^{2} + 16)}^{\frac{1}{2}}} + 0}{\frac{d}{d x} [x - 3]}$

Добавим $\frac{x}{{(x^{2} + 16)}^{\frac{1}{2}}}$ и $0$ .

$lim_{x \to 3} \frac{\frac{x}{{(x^{2} + 16)}^{\frac{1}{2}}}}{\frac{d}{d x} [x - 3]}$

По правилу суммы производная $x - 3$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 3]$ .

$lim_{x \to 3} \frac{\frac{x}{{(x^{2} + 16)}^{\frac{1}{2}}}}{\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 3]}$

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$lim_{x \to 3} \frac{\frac{x}{{(x^{2} + 16)}^{\frac{1}{2}}}}{1 + \frac{d}{d x} [- 3]}$

Поскольку $- 3$ является константой относительно $x$ , производная $- 3$ относительно $x$ равна $0$ .

$lim_{x \to 3} \frac{\frac{x}{{(x^{2} + 16)}^{\frac{1}{2}}}}{1 + 0}$

Добавим $1$ и $0$ .

$lim_{x \to 3} \frac{\frac{x}{{(x^{2} + 16)}^{\frac{1}{2}}}}{1}$

Умножим числитель на величину, обратную знаменателю.

$lim_{x \to 3} \frac{x}{{(x^{2} + 16)}^{\frac{1}{2}}} \cdot 1$

Перепишем ${(x^{2} + 16)}^{\frac{1}{2}}$ в виде $\sqrt{x^{2} + 16}$ .

$lim_{x \to 3} \frac{x}{\sqrt{x^{2} + 16}} \cdot 1$

Умножим $\frac{x}{\sqrt{x^{2} + 16}}$ на $1$ .

$lim_{x \to 3} \frac{x}{\sqrt{x^{2} + 16}}$

Step 2

Вычислим предел.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Разобьем предел с помощью правила частного пределов при стремлении $x$ к $3$ .

$\frac{lim_{x \to 3} x}{lim_{x \to 3} \sqrt{x^{2} + 16}}$

Внесем предел под знак радикала.

$\frac{lim_{x \to 3} x}{\sqrt{lim_{x \to 3} x^{2} + 16}}$

Разобьем предел с помощью правила суммы пределов при стремлении $x$ к $3$ .

$\frac{lim_{x \to 3} x}{\sqrt{lim_{x \to 3} x^{2} + lim_{x \to 3} 16}}$

Вынесем степень $2$ в выражении $x^{2}$ из-под знака предела по правилу степени для пределов.

$\frac{lim_{x \to 3} x}{\sqrt{{(lim_{x \to 3} x)}^{2} + lim_{x \to 3} 16}}$

Найдем предел $16$ , который является константой по мере приближения $x$ к $3$ .

$\frac{lim_{x \to 3} x}{\sqrt{{(lim_{x \to 3} x)}^{2} + 16}}$

Step 3

Найдем значения пределов, подставив значение $3$ для всех вхождений $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Найдем предел $x$ , подставив значение $3$ для $x$ .

$\frac{3}{\sqrt{{(lim_{x \to 3} x)}^{2} + 16}}$

Найдем предел $x$ , подставив значение $3$ для $x$ .

$\frac{3}{\sqrt{3^{2} + 16}}$

Step 4

Упростим знаменатель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Возведем $3$ в степень $2$ .

$\frac{3}{\sqrt{9 + 16}}$

Добавим $9$ и $16$ .

$\frac{3}{\sqrt{25}}$

Перепишем $25$ в виде $5^{2}$ .

$\frac{3}{\sqrt{5^{2}}}$

Вынесем члены из-под знака корня, предполагая, что вещественные числа являются положительными.

$\frac{3}{5}$

Step 5

Результат можно представить в различном виде.

Точная форма:

$\frac{3}{5}$

Десятичная форма:

$0.6$