Математический анализ Примеры

$lim_{x \to 0} \frac{(\sin (2 x))}{x}$

Step 1

Применим правило Лопиталя.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Найдем предел числителя и предел знаменателя.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Возьмем предел числителя и предел знаменателя.

$\frac{lim_{x \to 0} \sin (2 x)}{lim_{x \to 0} x}$

Найдем предел числителя.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Вычислим предел.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Перенесем предел внутрь тригонометрической функции, поскольку синус является непрерывной функцией.

$\frac{\sin (lim_{x \to 0} 2 x)}{lim_{x \to 0} x}$

Вынесем член $2$ из-под знака предела, так как он не зависит от $x$ .

$\frac{\sin (2 lim_{x \to 0} x)}{lim_{x \to 0} x}$

Найдем предел $x$ , подставив значение $0$ для $x$ .

$\frac{\sin (2 \cdot 0)}{lim_{x \to 0} x}$

Упростим ответ.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Умножим $2$ на $0$ .

$\frac{\sin (0)}{lim_{x \to 0} x}$

Точное значение $\sin (0)$ : $0$ .

$\frac{0}{lim_{x \to 0} x}$

Найдем предел $x$ , подставив значение $0$ для $x$ .

$\frac{0}{0}$

Выражение содержит деление на $0$ . Выражение не определено.

Неопределенные

$\frac{0}{0}$

Поскольку $\frac{0}{0}$ является неопределенной формой, применяется правило Лопиталя. Правило Лопиталя гласит, что предел отношения функций равен пределу отношения их производных.

$lim_{x \to 0} \frac{(\sin (2 x))}{x} = lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d x} [\sin (2 x)]}{\frac{d}{d x} [x]}$

Найдем производную числителя и знаменателя.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Продифференцируем числитель и знаменатель.

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d x} [\sin (2 x)]}{\frac{d}{d x} [x]}$

Продифференцируем, используя цепное правило (правило дифференцирования сложной функции), которое гласит, что $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ имеет вид $f' (g (x)) g' (x)$ , где $f (x) = \sin (x)$ и $g (x) = 2 x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Чтобы применить цепное правило, зададим $u$ как $2 x$ .

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d u} [\sin (u)] \frac{d}{d x} [2 x]}{\frac{d}{d x} [x]}$

Производная $\sin (u)$ по $u$ равна $\cos (u)$ .

$lim_{x \to 0} \frac{\cos (u) \frac{d}{d x} [2 x]}{\frac{d}{d x} [x]}$

Заменим все вхождения $u$ на $2 x$ .

$lim_{x \to 0} \frac{\cos (2 x) \frac{d}{d x} [2 x]}{\frac{d}{d x} [x]}$

Поскольку $2$ является константой относительно $x$ , производная $2 x$ по $x$ равна $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$lim_{x \to 0} \frac{\cos (2 x) (2 \frac{d}{d x} [x])}{\frac{d}{d x} [x]}$

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$lim_{x \to 0} \frac{\cos (2 x) (2 \cdot 1)}{\frac{d}{d x} [x]}$

Умножим $2$ на $1$ .

$lim_{x \to 0} \frac{\cos (2 x) \cdot 2}{\frac{d}{d x} [x]}$

Перенесем $2$ влево от $\cos (2 x)$ .

$lim_{x \to 0} \frac{2 \cdot \cos (2 x)}{\frac{d}{d x} [x]}$

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$lim_{x \to 0} \frac{2 \cos (2 x)}{1}$

Разделим $2 \cos (2 x)$ на $1$ .

$lim_{x \to 0} 2 \cos (2 x)$

Step 2

Вычислим предел.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Вынесем член $2$ из-под знака предела, так как он не зависит от $x$ .

$2 lim_{x \to 0} \cos (2 x)$

Перенесем предел внутрь тригонометрической функции, поскольку косинус является непрерывной функцией.

$2 \cos (lim_{x \to 0} 2 x)$

Вынесем член $2$ из-под знака предела, так как он не зависит от $x$ .

$2 \cos (2 lim_{x \to 0} x)$

Step 3

Найдем предел $x$ , подставив значение $0$ для $x$ .

$2 \cos (2 \cdot 0)$

Step 4

Упростим ответ.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Умножим $2$ на $0$ .

$2 \cos (0)$

Точное значение $\cos (0)$ : $1$ .

$2 \cdot 1$

Умножим $2$ на $1$ .

$2$