Математический анализ Примеры

$\ln (1 + \frac{1}{x})$

Step 1

Найдем асимптоты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Приравняем аргумент логарифма к нулю.

$1 + \frac{1}{x} = 0$

Решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Вычтем $1$ из обеих частей уравнения.

$\frac{1}{x} = - 1$

Найдем НОК знаменателей членов уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Нахождение НОЗ для списка значений — это то же самое, что найти НОК для знаменателей этих значений.

$x, 1$

НОК единицы и любого выражения есть это выражение.

$x$

Каждый член в $\frac{1}{x} = - 1$ умножим на $x$ , чтобы убрать дроби.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Умножим каждый член $\frac{1}{x} = - 1$ на $x$ .

$\frac{1}{x} x = - x$

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Сократим общий множитель $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Сократим общий множитель.

$\frac{1}{x} x = - x$

Перепишем это выражение.

$1 = - x$

Решим уравнение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Перепишем уравнение в виде $- x = 1$ .

$- x = 1$

Разделим каждый член $- x = 1$ на $- 1$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Разделим каждый член $- x = 1$ на $- 1$ .

$\frac{- x}{- 1} = \frac{1}{- 1}$

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Деление двух отрицательных значений дает положительное значение.

$\frac{x}{1} = \frac{1}{- 1}$

Разделим $x$ на $1$ .

$x = \frac{1}{- 1}$

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Разделим $1$ на $- 1$ .

$x = - 1$

Вертикальная асимптота возникает в $x = - 1$ .

Вертикальная асимптота: $x = - 1$

Step 2

Найдем точку в $x = - 2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Заменим в этом выражении переменную $x$ на $- 2$ .

$f (- 2) = \ln (1 + \frac{1}{- 2})$

Упростим результат.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Вынесем знак минуса перед дробью.

$f (- 2) = \ln (1 - \frac{1}{2})$

Запишем $1$ в виде дроби с общим знаменателем.

$f (- 2) = \ln (\frac{2}{2} - \frac{1}{2})$

Объединим числители над общим знаменателем.

$f (- 2) = \ln (\frac{2 - 1}{2})$

Вычтем $1$ из $2$ .

$f (- 2) = \ln (\frac{1}{2})$

Окончательный ответ: $\ln (\frac{1}{2})$ .

$\ln (\frac{1}{2})$

Преобразуем $\ln (\frac{1}{2})$ в десятичное представление.

$= - 0.69314718$

Step 3

Найдем точку в $x = - 3$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Заменим в этом выражении переменную $x$ на $- 3$ .

$f (- 3) = \ln (1 + \frac{1}{- 3})$

Упростим результат.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Вынесем знак минуса перед дробью.

$f (- 3) = \ln (1 - \frac{1}{3})$

Запишем $1$ в виде дроби с общим знаменателем.

$f (- 3) = \ln (\frac{3}{3} - \frac{1}{3})$

Объединим числители над общим знаменателем.

$f (- 3) = \ln (\frac{3 - 1}{3})$

Вычтем $1$ из $3$ .

$f (- 3) = \ln (\frac{2}{3})$

Окончательный ответ: $\ln (\frac{2}{3})$ .

$\ln (\frac{2}{3})$

Преобразуем $\ln (\frac{2}{3})$ в десятичное представление.

$= - 0.4054651$

Step 4

Найдем точку в $x = - 4$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Заменим в этом выражении переменную $x$ на $- 4$ .

$f (- 4) = \ln (1 + \frac{1}{- 4})$

Упростим результат.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Вынесем знак минуса перед дробью.

$f (- 4) = \ln (1 - \frac{1}{4})$

Запишем $1$ в виде дроби с общим знаменателем.

$f (- 4) = \ln (\frac{4}{4} - \frac{1}{4})$

Объединим числители над общим знаменателем.

$f (- 4) = \ln (\frac{4 - 1}{4})$

Вычтем $1$ из $4$ .

$f (- 4) = \ln (\frac{3}{4})$

Окончательный ответ: $\ln (\frac{3}{4})$ .

$\ln (\frac{3}{4})$

Преобразуем $\ln (\frac{3}{4})$ в десятичное представление.

$= - 0.28768207$

Step 5

График логарифмической функции можно построить с помощью вертикальной асимптоты в точке $x = - 1$ и точек $(- 2, - 0.69314718), (- 3, - 0.4054651), (- 4, - 0.28768207)$ .

Вертикальная асимптота: $x = - 1$

$\begin{array}{c} x & y \\ - 4 & - 0.288 \\ - 3 & - 0.405 \\ - 2 & - 0.693 \end{array}$

Step 6