Математический анализ Примеры

$\tan (x) \geq 1$

Step 1

Возьмем обратный тангенс обеих частей уравнения, чтобы извлечь $x$ из тангенса.

$x \geq \arctan (1)$

Step 2

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Точное значение $\arctan (1)$ : $\frac{π}{4}$ .

$x \geq \frac{π}{4}$

Step 3

Функция тангенса положительна в первом и третьем квадрантах. Для нахождения второго решения прибавим угол приведения из $π$ и найдем решение в четвертом квадранте.

$x = π + \frac{π}{4}$

Step 4

Упростим $π + \frac{π}{4}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Чтобы записать $π$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{4}{4}$ .

$x = π \cdot \frac{4}{4} + \frac{π}{4}$

Объединим дроби.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Объединим $π$ и $\frac{4}{4}$ .

$x = \frac{π \cdot 4}{4} + \frac{π}{4}$

Объединим числители над общим знаменателем.

$x = \frac{π \cdot 4 + π}{4}$

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Перенесем $4$ влево от $π$ .

$x = \frac{4 \cdot π + π}{4}$

Добавим $4 π$ и $π$ .

$x = \frac{5 π}{4}$

Step 5

Найдем период $\tan (x)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Период функции можно вычислить по формуле $\frac{π}{| b |}$ .

$\frac{π}{| b |}$

Заменим $b$ на $1$ в формуле периода.

$\frac{π}{| 1 |}$

Абсолютное значение ― это расстояние между числом и нулем. Расстояние между $0$ и $1$ равно $1$ .

$\frac{π}{1}$

Разделим $π$ на $1$ .

$π$

Step 6

Период функции $\tan (x)$ равен $π$ . Поэтому значения повторяются через каждые $π$ рад. в обоих направлениях.

$x = \frac{π}{4} + π n, \frac{5 π}{4} + π n$ , для любого целого $n$

Step 7

Объединим ответы.

$x = \frac{π}{4} + π n$ , для любого целого $n$

Step 8

Найдем область определения $\tan (x) - 1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Зададим аргумент в $\tan (x)$ равным $\frac{π}{2} + π n$ , чтобы узнать, где данное выражение не определено.

$x = \frac{π}{2} + π n$ , для любого целого $n$

Область определения ― это все значения $x$ , при которых выражение определено.

${x | x \neq \frac{π}{2} + π n}$ $n$ , для любого целого числа $n$

Step 9

Используем каждый корень для создания контрольных интервалов.

$\frac{π}{4} < x < \frac{π}{2}$

$\frac{π}{2} < x < \frac{5 π}{4}$

Step 10

Выберем тестовое значение из каждого интервала и подставим это значение в исходное неравенство для определения интервалов, удовлетворяющих неравенству.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Проверим значение на интервале $\frac{π}{4} < x < \frac{π}{2}$ и посмотрим, делает ли оно верным неравенство.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Выберем значение на интервале $\frac{π}{4} < x < \frac{π}{2}$ и посмотрим, делает ли это значение верным исходное неравенство.

$x = 1$

Заменим $x$ на $1$ в исходном неравенстве.

$\tan (1) \geq 1$

Левая часть $1.55740772$ больше правой части $1$ , значит, данное утверждение всегда истинно.

True

Проверим значение на интервале $\frac{π}{2} < x < \frac{5 π}{4}$ и посмотрим, делает ли оно верным неравенство.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Выберем значение на интервале $\frac{π}{2} < x < \frac{5 π}{4}$ и посмотрим, делает ли это значение верным исходное неравенство.

$x = 3$

Заменим $x$ на $3$ в исходном неравенстве.

$\tan (3) \geq 1$

Левая часть $- 0.14254654$ меньше правой части $1$ , значит, данное утверждение ложно.

False

Сравним интервалы, чтобы определить, какие из них удовлетворяют исходному неравенству.

$\frac{π}{4} < x < \frac{π}{2}$ Истина

$\frac{π}{2} < x < \frac{5 π}{4}$ Ложь

$\frac{π}{4} < x < \frac{π}{2}$ Истина

$\frac{π}{2} < x < \frac{5 π}{4}$ Ложь

Step 11

Решение состоит из всех истинных интервалов.

$\frac{π}{4} + π n \leq x < \frac{π}{2} + π n$ , для любого целого $n$

Step 12