Математический анализ Примеры

$12 x \sec^{2} (6 x^{2})$

Step 1

Поскольку $12$ является константой относительно $x$ , производная $12 x \sec^{2} (6 x^{2})$ по $x$ равна $12 \frac{d}{d x} [x \sec^{2} (6 x^{2})]$ .

$12 \frac{d}{d x} [x \sec^{2} (6 x^{2})]$

Step 2

Продифференцируем, используя правило умножения, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ имеет вид $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ , где $f (x) = x$ и $g (x) = \sec^{2} (6 x^{2})$ .

$12 (x \frac{d}{d x} [\sec^{2} (6 x^{2})] + \sec^{2} (6 x^{2}) \frac{d}{d x} [x])$

Step 3

Продифференцируем, используя цепное правило (правило дифференцирования сложной функции), которое гласит, что $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ имеет вид $f' (g (x)) g' (x)$ , где $f (x) = x^{2}$ и $g (x) = \sec (6 x^{2})$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Чтобы применить цепное правило, зададим $u_{1}$ как $\sec (6 x^{2})$ .

$12 (x (\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{2}] \frac{d}{d x} [\sec (6 x^{2})]) + \sec^{2} (6 x^{2}) \frac{d}{d x} [x])$

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{n}]$ имеет вид $n {u_{1}}^{n - 1}$ , где $n = 2$ .

$12 (x (2 u_{1} \frac{d}{d x} [\sec (6 x^{2})]) + \sec^{2} (6 x^{2}) \frac{d}{d x} [x])$

Заменим все вхождения $u_{1}$ на $\sec (6 x^{2})$ .

$12 (x (2 \sec (6 x^{2}) \frac{d}{d x} [\sec (6 x^{2})]) + \sec^{2} (6 x^{2}) \frac{d}{d x} [x])$

Step 4

Нажмите для увеличения количества этапов...

Чтобы применить цепное правило, зададим $u_{2}$ как $6 x^{2}$ .

$12 (x (2 \sec (6 x^{2}) (\frac{d}{d u_{2}} [\sec (u_{2})] \frac{d}{d x} [6 x^{2}])) + \sec^{2} (6 x^{2}) \frac{d}{d x} [x])$

Производная $\sec (u_{2})$ по $u_{2}$ равна $\sec (u_{2}) \tan (u_{2})$ .

$12 (x (2 \sec (6 x^{2}) (\sec (u_{2}) \tan (u_{2}) \frac{d}{d x} [6 x^{2}])) + \sec^{2} (6 x^{2}) \frac{d}{d x} [x])$

Заменим все вхождения $u_{2}$ на $6 x^{2}$ .

$12 (x (2 \sec (6 x^{2}) (\sec (6 x^{2}) \tan (6 x^{2}) \frac{d}{d x} [6 x^{2}])) + \sec^{2} (6 x^{2}) \frac{d}{d x} [x])$

Step 5

Возведем $\sec (6 x^{2})$ в степень $1$ .

$12 (x (2 (\sec^{1} (6 x^{2}) \sec (6 x^{2})) (\tan (6 x^{2}) \frac{d}{d x} [6 x^{2}])) + \sec^{2} (6 x^{2}) \frac{d}{d x} [x])$

Step 6

Возведем $\sec (6 x^{2})$ в степень $1$ .

$12 (x (2 (\sec^{1} (6 x^{2}) \sec^{1} (6 x^{2})) (\tan (6 x^{2}) \frac{d}{d x} [6 x^{2}])) + \sec^{2} (6 x^{2}) \frac{d}{d x} [x])$

Step 7

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$12 (x (2 {\sec (6 x^{2})}^{1 + 1} (\tan (6 x^{2}) \frac{d}{d x} [6 x^{2}])) + \sec^{2} (6 x^{2}) \frac{d}{d x} [x])$

Step 8

Добавим $1$ и $1$ .

$12 (x (2 \sec^{2} (6 x^{2}) (\tan (6 x^{2}) \frac{d}{d x} [6 x^{2}])) + \sec^{2} (6 x^{2}) \frac{d}{d x} [x])$

Step 9

Поскольку $6$ является константой относительно $x$ , производная $6 x^{2}$ по $x$ равна $6 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$12 (x (2 \sec^{2} (6 x^{2}) \tan (6 x^{2}) (6 \frac{d}{d x} [x^{2}])) + \sec^{2} (6 x^{2}) \frac{d}{d x} [x])$

Step 10

Умножим $6$ на $2$ .

$12 (x (12 \sec^{2} (6 x^{2}) \tan (6 x^{2}) \frac{d}{d x} [x^{2}]) + \sec^{2} (6 x^{2}) \frac{d}{d x} [x])$

Step 11

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 2$ .

$12 (x (12 \sec^{2} (6 x^{2}) \tan (6 x^{2}) (2 x)) + \sec^{2} (6 x^{2}) \frac{d}{d x} [x])$

Step 12

Умножим $2$ на $12$ .

$12 (x (24 \sec^{2} (6 x^{2}) \tan (6 x^{2}) x) + \sec^{2} (6 x^{2}) \frac{d}{d x} [x])$

Step 13

Возведем $x$ в степень $1$ .

$12 (x^{1} x (24 \sec^{2} (6 x^{2}) \tan (6 x^{2})) + \sec^{2} (6 x^{2}) \frac{d}{d x} [x])$

Step 14

Возведем $x$ в степень $1$ .

$12 (x^{1} x^{1} (24 \sec^{2} (6 x^{2}) \tan (6 x^{2})) + \sec^{2} (6 x^{2}) \frac{d}{d x} [x])$

Step 15

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$12 (x^{1 + 1} (24 \sec^{2} (6 x^{2}) \tan (6 x^{2})) + \sec^{2} (6 x^{2}) \frac{d}{d x} [x])$

Step 16

Добавим $1$ и $1$ .

$12 (x^{2} (24 \sec^{2} (6 x^{2}) \tan (6 x^{2})) + \sec^{2} (6 x^{2}) \frac{d}{d x} [x])$

Step 17

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$12 (x^{2} (24 \sec^{2} (6 x^{2}) \tan (6 x^{2})) + \sec^{2} (6 x^{2}) \cdot 1)$

Step 18

Умножим $\sec^{2} (6 x^{2})$ на $1$ .

$12 (x^{2} (24 \sec^{2} (6 x^{2}) \tan (6 x^{2})) + \sec^{2} (6 x^{2}))$

Step 19

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Применим свойство дистрибутивности.

$12 (x^{2} (24 \sec^{2} (6 x^{2}) \tan (6 x^{2}))) + 12 \sec^{2} (6 x^{2})$

Умножим $24$ на $12$ .

$288 x^{2} (\sec^{2} (6 x^{2}) \tan (6 x^{2})) + 12 \sec^{2} (6 x^{2})$

Изменим порядок членов.

$288 x^{2} \sec^{2} (6 x^{2}) \tan (6 x^{2}) + 12 \sec^{2} (6 x^{2})$