Математический анализ Примеры

$\int \sec^{4} (2 x) d x$

Step 1

Пусть $u_{1} = 2 x$ . Тогда $d u_{1} = 2 d x$ , следовательно $\frac{1}{2} d u_{1} = d x$ . Перепишем, используя $u_{1}$ и $d$ $u_{1}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Пусть $u_{1} = 2 x$ . Найдем $\frac{d u_{1}}{d x}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Дифференцируем $2 x$ .

$\frac{d}{d x} [2 x]$

Поскольку $2$ является константой относительно $x$ , производная $2 x$ по $x$ равна $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$2 \frac{d}{d x} [x]$

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$2 \cdot 1$

Умножим $2$ на $1$ .

$2$

Переформулируем задачу с помощью $u_{1}$ и $d u_{1}$ .

$\int \sec^{4} (u_{1}) \frac{1}{2} d u_{1}$

Step 2

Объединим $\sec^{4} (u_{1})$ и $\frac{1}{2}$ .

$\int \frac{\sec^{4} (u_{1})}{2} d u_{1}$

Step 3

Поскольку $\frac{1}{2}$ — константа по отношению к $u_{1}$ , вынесем $\frac{1}{2}$ из-под знака интеграла.

$\frac{1}{2} \int \sec^{4} (u_{1}) d u_{1}$

Step 4

Упростим выражение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Запишем $4$ как $2$ плюс $2$

$\frac{1}{2} \int {\sec (u_{1})}^{2 + 2} d u_{1}$

Перепишем ${\sec (u_{1})}^{2 + 2}$ в виде $\sec^{2} (u_{1}) \sec^{2} (u_{1})$ .

$\frac{1}{2} \int \sec^{2} (u_{1}) \sec^{2} (u_{1}) d u_{1}$

Step 5

Используя формулы Пифагора, запишем $\sec^{2} (u_{1})$ в виде $1 + \tan^{2} (u_{1})$ .

$\frac{1}{2} \int (1 + \tan^{2} (u_{1})) \sec^{2} (u_{1}) d u_{1}$

Step 6

Пусть $u_{2} = \tan (u_{1})$ . Тогда $d u_{2} = \sec^{2} (u_{1}) d u_{1}$ , следовательно $\frac{1}{\sec^{2} (u_{1})} d u_{2} = d u_{1}$ . Перепишем, используя $u_{2}$ и $d$ $u_{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Пусть $u_{2} = \tan (u_{1})$ . Найдем $\frac{d u_{2}}{d u_{1}}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Дифференцируем $\tan (u_{1})$ .

$\frac{d}{d u_{1}} [\tan (u_{1})]$

Производная $\tan (u_{1})$ по $u_{1}$ равна $\sec^{2} (u_{1})$ .

$\sec^{2} (u_{1})$

Переформулируем задачу с помощью $u_{2}$ и $d u_{2}$ .

$\frac{1}{2} \int 1 + {u_{2}}^{2} d u_{2}$

Step 7

Разделим данный интеграл на несколько интегралов.

$\frac{1}{2} (\int d u_{2} + \int {u_{2}}^{2} d u_{2})$

Step 8

Применим правило дифференцирования постоянных функций.

$\frac{1}{2} (u_{2} + C + \int {u_{2}}^{2} d u_{2})$

Step 9

По правилу степени интеграл ${u_{2}}^{2}$ по $u_{2}$ имеет вид $\frac{1}{3} {u_{2}}^{3}$ .

$\frac{1}{2} (u_{2} + C + \frac{1}{3} {u_{2}}^{3} + C)$

Step 10

Упростим.

$\frac{1}{2} (u_{2} + \frac{1}{3} {u_{2}}^{3}) + C$

Step 11

Выполним обратную подстановку для каждой подставленной переменной интегрирования.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Заменим все вхождения $u_{2}$ на $\tan (u_{1})$ .

$\frac{1}{2} (\tan (u_{1}) + \frac{1}{3} \tan^{3} (u_{1})) + C$

Заменим все вхождения $u_{1}$ на $2 x$ .

$\frac{1}{2} (\tan (2 x) + \frac{1}{3} \tan^{3} (2 x)) + C$

Step 12

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Объединим $\frac{1}{3}$ и $\tan^{3} (2 x)$ .

$\frac{1}{2} (\tan (2 x) + \frac{\tan^{3} (2 x)}{3}) + C$

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{1}{2} \tan (2 x) + \frac{1}{2} \cdot \frac{\tan^{3} (2 x)}{3} + C$

Объединим $\frac{1}{2}$ и $\tan (2 x)$ .

$\frac{\tan (2 x)}{2} + \frac{1}{2} \cdot \frac{\tan^{3} (2 x)}{3} + C$

Объединим.

$\frac{\tan (2 x)}{2} + \frac{1 \tan^{3} (2 x)}{2 \cdot 3} + C$

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Умножим $\tan^{3} (2 x)$ на $1$ .

$\frac{\tan (2 x)}{2} + \frac{\tan^{3} (2 x)}{2 \cdot 3} + C$

Умножим $2$ на $3$ .

$\frac{\tan (2 x)}{2} + \frac{\tan^{3} (2 x)}{6} + C$

Step 13

Изменим порядок членов.

$\frac{1}{2} \tan (2 x) + \frac{1}{6} \tan^{3} (2 x) + C$