Математический анализ Примеры

$f (x) = x^{2 \ln (x)}$

Step 1

Используем свойства логарифмов, чтобы упростить дифференцирование.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Перепишем $x^{2 \ln (x)}$ в виде $e^{\ln (x^{2 \ln (x)})}$ .

$\frac{d}{d x} [e^{\ln (x^{2 \ln (x)})}]$

Развернем $\ln (x^{2 \ln (x)})$ , вынося $2 \ln (x)$ из логарифма.

$\frac{d}{d x} [e^{2 \ln (x) \ln (x)}]$

Step 2

Возведем $\ln (x)$ в степень $1$ .

$\frac{d}{d x} [e^{2 (\ln^{1} (x) \ln (x))}]$

Step 3

Возведем $\ln (x)$ в степень $1$ .

$\frac{d}{d x} [e^{2 (\ln^{1} (x) \ln^{1} (x))}]$

Step 4

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$\frac{d}{d x} [e^{2 {\ln (x)}^{1 + 1}}]$

Step 5

Добавим $1$ и $1$ .

$\frac{d}{d x} [e^{2 \ln^{2} (x)}]$

Step 6

Продифференцируем, используя цепное правило (правило дифференцирования сложной функции), которое гласит, что $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ имеет вид $f' (g (x)) g' (x)$ , где $f (x) = e^{x}$ и $g (x) = 2 \ln^{2} (x)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Чтобы применить цепное правило, зададим $u_{1}$ как $2 \ln^{2} (x)$ .

$\frac{d}{d u_{1}} [e^{u_{1}}] \frac{d}{d x} [2 \ln^{2} (x)]$

Продифференцируем, используя правило экспоненты, которое гласит, что $\frac{d}{d u_{1}} [a^{u_{1}}]$ имеет вид $a^{u_{1}} \ln (a)$ , где $a$ = $e$ .

$e^{u_{1}} \frac{d}{d x} [2 \ln^{2} (x)]$

Заменим все вхождения $u_{1}$ на $2 \ln^{2} (x)$ .

$e^{2 \ln^{2} (x)} \frac{d}{d x} [2 \ln^{2} (x)]$

Step 7

Поскольку $2$ является константой относительно $x$ , производная $2 \ln^{2} (x)$ по $x$ равна $2 \frac{d}{d x} [\ln^{2} (x)]$ .

$e^{2 \ln^{2} (x)} (2 \frac{d}{d x} [\ln^{2} (x)])$

Step 8

Нажмите для увеличения количества этапов...

Чтобы применить цепное правило, зададим $u_{2}$ как $\ln (x)$ .

$e^{2 \ln^{2} (x)} (2 (\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{2}] \frac{d}{d x} [\ln (x)]))$

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{n}]$ имеет вид $n {u_{2}}^{n - 1}$ , где $n = 2$ .

$e^{2 \ln^{2} (x)} (2 (2 u_{2} \frac{d}{d x} [\ln (x)]))$

Заменим все вхождения $u_{2}$ на $\ln (x)$ .

$e^{2 \ln^{2} (x)} (2 (2 \ln (x) \frac{d}{d x} [\ln (x)]))$

Step 9

Умножим $2$ на $2$ .

$e^{2 \ln^{2} (x)} (4 (\ln (x) \frac{d}{d x} [\ln (x)]))$

Step 10

Производная $\ln (x)$ по $x$ равна $\frac{1}{x}$ .

$e^{2 \ln^{2} (x)} (4 \ln (x) \frac{1}{x})$

Step 11

Объединим дроби.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Объединим $\frac{1}{x}$ и $4$ .

$e^{2 \ln^{2} (x)} (\frac{4}{x} \ln (x))$

Объединим $\frac{4}{x}$ и $\ln (x)$ .

$e^{2 \ln^{2} (x)} \frac{4 \ln (x)}{x}$

Объединим $e^{2 \ln^{2} (x)}$ и $\frac{4 \ln (x)}{x}$ .

$\frac{e^{2 \ln^{2} (x)} (4 \ln (x))}{x}$

Step 12

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Перепишем, используя свойство коммутативности умножения.

$\frac{4 e^{2 \ln^{2} (x)} \ln (x)}{x}$

Умножим $4 e^{2 \ln^{2} (x)} \ln (x)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Изменим порядок $\ln (x)$ и $4$ .

$\frac{4 \cdot \ln (x) e^{2 \ln^{2} (x)}}{x}$

Упростим $4 \cdot \ln (x)$ путем переноса $4$ под логарифм.

$\frac{\ln (x^{4}) e^{2 \ln^{2} (x)}}{x}$

Изменим порядок множителей в $\ln (x^{4}) e^{2 \ln^{2} (x)}$ .

$\frac{e^{2 \ln^{2} (x)} \ln (x^{4})}{x}$