Математический анализ Примеры

$y = {(x + 4 \ln (x))}^{4}$

Step 1

Продифференцируем обе части уравнения.

$\frac{d}{d x} (y) = \frac{d}{d x} ({(x + 4 \ln (x))}^{4})$

Step 2

Производная $y$ по $x$ равна $y'$ .

$y'$

Step 3

Продифференцируем правую часть уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Продифференцируем, используя цепное правило (правило дифференцирования сложной функции), которое гласит, что $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ имеет вид $f' (g (x)) g' (x)$ , где $f (x) = x^{4}$ и $g (x) = x + 4 \ln (x)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Чтобы применить цепное правило, зададим $u$ как $x + 4 \ln (x)$ .

$\frac{d}{d u} [u^{4}] \frac{d}{d x} [x + 4 \ln (x)]$

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ имеет вид $n u^{n - 1}$ , где $n = 4$ .

$4 u^{3} \frac{d}{d x} [x + 4 \ln (x)]$

Заменим все вхождения $u$ на $x + 4 \ln (x)$ .

$4 {(x + 4 \ln (x))}^{3} \frac{d}{d x} [x + 4 \ln (x)]$

Продифференцируем.

Нажмите для увеличения количества этапов...

По правилу суммы производная $x + 4 \ln (x)$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [4 \ln (x)]$ .

$4 {(x + 4 \ln (x))}^{3} (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [4 \ln (x)])$

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$4 {(x + 4 \ln (x))}^{3} (1 + \frac{d}{d x} [4 \ln (x)])$

Поскольку $4$ является константой относительно $x$ , производная $4 \ln (x)$ по $x$ равна $4 \frac{d}{d x} [\ln (x)]$ .

$4 {(x + 4 \ln (x))}^{3} (1 + 4 \frac{d}{d x} [\ln (x)])$

Производная $\ln (x)$ по $x$ равна $\frac{1}{x}$ .

$4 {(x + 4 \ln (x))}^{3} (1 + 4 \frac{1}{x})$

Объединим $4$ и $\frac{1}{x}$ .

$4 {(x + 4 \ln (x))}^{3} (1 + \frac{4}{x})$

Step 4

Преобразуем уравнение, приравняв левую часть к правой.

$y' = 4 {(x + 4 \ln (x))}^{3} (1 + \frac{4}{x})$

Step 5

Заменим $y'$ на $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{d y}{d x} = 4 {(x + 4 \ln (x))}^{3} (1 + \frac{4}{x})$