Математический анализ Примеры

$f (x) = 3 x^{3} - 9 x$

Step 1

Найдем первую производную.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Найдем первую производную.

Нажмите для увеличения количества этапов...

По правилу суммы производная $3 x^{3} - 9 x$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [3 x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 9 x]$ .

$f' (x) = \frac{d}{d x} (3 x^{3}) + \frac{d}{d x} (- 9 x)$

Найдем значение $\frac{d}{d x} [3 x^{3}]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Поскольку $3$ является константой относительно $x$ , производная $3 x^{3}$ по $x$ равна $3 \frac{d}{d x} [x^{3}]$ .

$f' (x) = 3 \frac{d}{d x} (x^{3}) + \frac{d}{d x} (- 9 x)$

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 3$ .

$f' (x) = 3 (3 x^{2}) + \frac{d}{d x} (- 9 x)$

Умножим $3$ на $3$ .

$f' (x) = 9 x^{2} + \frac{d}{d x} (- 9 x)$

Найдем значение $\frac{d}{d x} [- 9 x]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Поскольку $- 9$ является константой относительно $x$ , производная $- 9 x$ по $x$ равна $- 9 \frac{d}{d x} [x]$ .

$f' (x) = 9 x^{2} - 9 \frac{d}{d x} x$

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$f' (x) = 9 x^{2} - 9 \cdot 1$

Умножим $- 9$ на $1$ .

$f' (x) = 9 x^{2} - 9$

Первая производная $f (x)$ по $x$ равна $9 x^{2} - 9$ .

$9 x^{2} - 9$

Step 2

Приравняем первую производную к $0$ , затем найдем решение уравнения $9 x^{2} - 9 = 0$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Пусть первая производная равна $0$ .

$9 x^{2} - 9 = 0$

Добавим $9$ к обеим частям уравнения.

$9 x^{2} = 9$

Разделим каждый член $9 x^{2} = 9$ на $9$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Разделим каждый член $9 x^{2} = 9$ на $9$ .

$\frac{9 x^{2}}{9} = \frac{9}{9}$

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Сократим общий множитель $9$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Сократим общий множитель.

$\frac{9 x^{2}}{9} = \frac{9}{9}$

Разделим $x^{2}$ на $1$ .

$x^{2} = \frac{9}{9}$

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Разделим $9$ на $9$ .

$x^{2} = 1$

Возьмем квадратный корень от обеих частей уравнения, чтобы исключить член со степенью в левой части.

$x = \pm \sqrt{1}$

Любой корень из $1$ равен $1$ .

$x = \pm 1$

Полное решение является результатом как положительных, так и отрицательных частей решения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Сначала с помощью положительного значения $\pm$ найдем первое решение.

$x = 1$

Затем, используя отрицательное значение $\pm$ , найдем второе решение.

$x = - 1$

Полное решение является результатом как положительных, так и отрицательных частей решения.

$x = 1, - 1$

Step 3

Найдем значения, при которых производная не определена.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Область определения выражения ― все действительные числа, за исключением случаев, когда выражение не определено. В данном случае не существует вещественного числа, при котором выражение не определено.

Step 4

Вычислим $3 x^{3} - 9 x$ для каждого значения $x$ , для которого производная равна $0$ или не определена.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Найдем значение в $x = 1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Подставим $1$ вместо $x$ .

$3 {(1)}^{3} - 9 \cdot 1$

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Единица в любой степени равна единице.

$3 \cdot 1 - 9 \cdot 1$

Умножим $3$ на $1$ .

$3 - 9 \cdot 1$

Умножим $- 9$ на $1$ .

$3 - 9$

Вычтем $9$ из $3$ .

$- 6$

Найдем значение в $x = - 1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Подставим $- 1$ вместо $x$ .

$3 {(- 1)}^{3} - 9 \cdot - 1$

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Возведем $- 1$ в степень $3$ .

$3 \cdot - 1 - 9 \cdot - 1$

Умножим $3$ на $- 1$ .

$- 3 - 9 \cdot - 1$

Умножим $- 9$ на $- 1$ .

$- 3 + 9$

Добавим $- 3$ и $9$ .

$6$

Перечислим все точки.

$(1, - 6), (- 1, 6)$

Step 5