Математический анализ Примеры

$f (x) = \sqrt{x^{2} - 4}$

Step 1

Запишем $f (x) = \sqrt{x^{2} - 4}$ в виде уравнения.

$y = \sqrt{x^{2} - 4}$

Step 2

Поменяем переменные местами.

$x = \sqrt{y^{2} - 4}$

Step 3

Решим относительно $y$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Перепишем уравнение в виде $\sqrt{y^{2} - 4} = x$ .

$\sqrt{y^{2} - 4} = x$

Чтобы избавиться от радикала в левой части уравнения, возведем обе части уравнения в квадрат.

${\sqrt{y^{2} - 4}}^{2} = x^{2}$

Упростим каждую часть уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

С помощью $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ запишем $\sqrt{y^{2} - 4}$ в виде ${(y^{2} - 4)}^{\frac{1}{2}}$ .

${({(y^{2} - 4)}^{\frac{1}{2}})}^{2} = x^{2}$

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Упростим ${({(y^{2} - 4)}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Перемножим экспоненты в ${({(y^{2} - 4)}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

${(y^{2} - 4)}^{\frac{1}{2} \cdot 2} = x^{2}$

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Сократим общий множитель.

${(y^{2} - 4)}^{\frac{1}{2} \cdot 2} = x^{2}$

Перепишем это выражение.

${(y^{2} - 4)}^{1} = x^{2}$

Упростим.

$y^{2} - 4 = x^{2}$

Решим относительно $y$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Добавим $4$ к обеим частям уравнения.

$y^{2} = x^{2} + 4$

Возьмем квадратный корень от обеих частей уравнения, чтобы исключить член со степенью в левой части.

$y = \pm \sqrt{x^{2} + 4}$

Полное решение является результатом как положительных, так и отрицательных частей решения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Сначала с помощью положительного значения $\pm$ найдем первое решение.

$y = \sqrt{x^{2} + 4}$

Затем, используя отрицательное значение $\pm$ , найдем второе решение.

$y = - \sqrt{x^{2} + 4}$

Полное решение является результатом как положительных, так и отрицательных частей решения.

$y = \sqrt{x^{2} + 4}$

$y = - \sqrt{x^{2} + 4}$

$y = \sqrt{x^{2} + 4}$

$y = - \sqrt{x^{2} + 4}$

$y = \sqrt{x^{2} + 4}$

$y = - \sqrt{x^{2} + 4}$

$y = \sqrt{x^{2} + 4}$

$y = - \sqrt{x^{2} + 4}$

Step 4

Replace $y$ with $f^{- 1} (x)$ to show the final answer.

$f^{- 1} (x) = \sqrt{x^{2} + 4}, - \sqrt{x^{2} + 4}$

Step 5

Проверим, является ли $f^{- 1} (x) = \sqrt{x^{2} + 4}, - \sqrt{x^{2} + 4}$ обратной к $f (x) = \sqrt{x^{2} - 4}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Область определения обратной функции — это множество значений исходной функции, и наоборот. Найдем область определения и множество значений $f (x) = \sqrt{x^{2} - 4}$ и $f^{- 1} (x) = \sqrt{x^{2} + 4}, - \sqrt{x^{2} + 4}$ и сравним их.

Найдем множество значений $f (x) = \sqrt{x^{2} - 4}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Множество значений ― это множество всех допустимых значений $y$ . Используем график, чтобы найти множество значений.

Интервальное представление:

$[0, \infty)$

Find the domain of the inverse.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Найдем область определения $\sqrt{x^{2} + 4}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Зададим подкоренное выражение в $\sqrt{x^{2} + 4}$ большим или равным $0$ , чтобы узнать, где определено данное выражение.

$x^{2} + 4 \geq 0$

Решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Вычтем $4$ из обеих частей неравенства.

$x^{2} \geq - 4$

Поскольку левая часть имеет четную степень, она всегда положительна для всех вещественных чисел.

Все вещественные числа

Область определения выражения ― все действительные числа, за исключением случаев, когда выражение не определено. В данном случае не существует вещественного числа, при котором выражение не определено.

$(- \infty, \infty)$

Нажмите для увеличения количества этапов...

Объединение состоит из всех элементов, содержащихся в любом интервале.

$(- \infty, \infty)$

Так как область определения $f^{- 1} (x) = \sqrt{x^{2} + 4}, - \sqrt{x^{2} + 4}$ не совпадает со множеством значений $f (x) = \sqrt{x^{2} - 4}$ , то $f^{- 1} (x) = \sqrt{x^{2} + 4}, - \sqrt{x^{2} + 4}$ не является функцией, обратной к $f (x) = \sqrt{x^{2} - 4}$ .

Обратная не существует

Step 6