Математический анализ Примеры

$f (x) = x^{4} - 72 x^{2}$

Step 1

Найдем первую производную.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Найдем первую производную.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Продифференцируем.

Нажмите для увеличения количества этапов...

По правилу суммы производная $x^{4} - 72 x^{2}$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [x^{4}] + \frac{d}{d x} [- 72 x^{2}]$ .

$f' (x) = \frac{d}{d x} (x^{4}) + \frac{d}{d x} (- 72 x^{2})$

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 4$ .

$f' (x) = 4 x^{3} + \frac{d}{d x} (- 72 x^{2})$

Найдем значение $\frac{d}{d x} [- 72 x^{2}]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Поскольку $- 72$ является константой относительно $x$ , производная $- 72 x^{2}$ по $x$ равна $- 72 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$f' (x) = 4 x^{3} - 72 \frac{d}{d x} x^{2}$

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 2$ .

$f' (x) = 4 x^{3} - 72 (2 x)$

Умножим $2$ на $- 72$ .

$f' (x) = 4 x^{3} - 144 x$

Первая производная $f (x)$ по $x$ равна $4 x^{3} - 144 x$ .

$4 x^{3} - 144 x$

Step 2

Приравняем первую производную к $0$ , затем найдем решение уравнения $4 x^{3} - 144 x = 0$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Пусть первая производная равна $0$ .

$4 x^{3} - 144 x = 0$

Разложим левую часть уравнения на множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Вынесем множитель $4 x$ из $4 x^{3} - 144 x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Вынесем множитель $4 x$ из $4 x^{3}$ .

$4 x (x^{2}) - 144 x = 0$

Вынесем множитель $4 x$ из $- 144 x$ .

$4 x (x^{2}) + 4 x (- 36) = 0$

Вынесем множитель $4 x$ из $4 x (x^{2}) + 4 x (- 36)$ .

$4 x (x^{2} - 36) = 0$

Перепишем $36$ в виде $6^{2}$ .

$4 x (x^{2} - 6^{2}) = 0$

Разложим на множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Поскольку оба члена являются полными квадратами, выполним разложение на множители, используя формулу разности квадратов, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ , где $a = x$ и $b = 6$ .

$4 x ((x + 6) (x - 6)) = 0$

Избавимся от ненужных скобок.

$4 x (x + 6) (x - 6) = 0$

Если любой отдельный множитель в левой части уравнения равен $0$ , все выражение равно $0$ .

$x = 0$

$x + 6 = 0$

$x - 6 = 0$

Приравняем $x$ к $0$ .

$x = 0$

Приравняем $x + 6$ к $0$ , затем решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Приравняем $x + 6$ к $0$ .

$x + 6 = 0$

Вычтем $6$ из обеих частей уравнения.

$x = - 6$

Приравняем $x - 6$ к $0$ , затем решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Приравняем $x - 6$ к $0$ .

$x - 6 = 0$

Добавим $6$ к обеим частям уравнения.

$x = 6$

Окончательным решением являются все значения, при которых $4 x (x + 6) (x - 6) = 0$ верно.

$x = 0, - 6, 6$

Step 3

Значения, при которых производная равна $0$ : $0, - 6, 6$ .

$0, - 6, 6$

Step 4

Разобьем $(- \infty, \infty)$ на отдельные интервалы вокруг значений $x$ , при которых производная равна $0$ или не определена.

$(- \infty, - 6) \cup (- 6, 0) \cup (0, 6) \cup (6, \infty)$

Step 5

Подставим значение из интервала $(- \infty, - 6)$ в производную, чтобы определить, возрастает функция или убывает.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Заменим в этом выражении переменную $x$ на $- 7$ .

$f' (- 7) = 4 {(- 7)}^{3} - 144 \cdot - 7$

Упростим результат.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Возведем $- 7$ в степень $3$ .

$f' (- 7) = 4 \cdot - 343 - 144 \cdot - 7$

Умножим $4$ на $- 343$ .

$f' (- 7) = - 1372 - 144 \cdot - 7$

Умножим $- 144$ на $- 7$ .

$f' (- 7) = - 1372 + 1008$

Добавим $- 1372$ и $1008$ .

$f' (- 7) = - 364$

Окончательный ответ: $- 364$ .

$- 364$

При $x = - 7$ производная имеет вид $- 364$ . Поскольку это отрицательная величина, функция убывает в диапазоне $(- \infty, - 6)$ .

Убывание на $(- \infty, - 6)$ , так как $f' (x) < 0$

Step 6

Подставим значение из интервала $(- 6, 0)$ в производную, чтобы определить, возрастает функция или убывает.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Заменим в этом выражении переменную $x$ на $- 3$ .

$f' (- 3) = 4 {(- 3)}^{3} - 144 \cdot - 3$

Упростим результат.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Возведем $- 3$ в степень $3$ .

$f' (- 3) = 4 \cdot - 27 - 144 \cdot - 3$

Умножим $4$ на $- 27$ .

$f' (- 3) = - 108 - 144 \cdot - 3$

Умножим $- 144$ на $- 3$ .

$f' (- 3) = - 108 + 432$

Добавим $- 108$ и $432$ .

$f' (- 3) = 324$

Окончательный ответ: $324$ .

$324$

При $x = - 3$ производная имеет вид $324$ . Поскольку это положительная величина, функция возрастает в диапазоне $(- 6, 0)$ .

Возрастание в области $(- 6, 0)$ , так как $f' (x) > 0$

Step 7

Подставим значение из интервала $(0, 6)$ в производную, чтобы определить, возрастает функция или убывает.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Заменим в этом выражении переменную $x$ на $3$ .

$f' (3) = 4 {(3)}^{3} - 144 \cdot 3$

Упростим результат.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Возведем $3$ в степень $3$ .

$f' (3) = 4 \cdot 27 - 144 \cdot 3$

Умножим $4$ на $27$ .

$f' (3) = 108 - 144 \cdot 3$

Умножим $- 144$ на $3$ .

$f' (3) = 108 - 432$

Вычтем $432$ из $108$ .

$f' (3) = - 324$

Окончательный ответ: $- 324$ .

$- 324$

При $x = 3$ производная имеет вид $- 324$ . Поскольку это отрицательная величина, функция убывает в диапазоне $(0, 6)$ .

Убывание на $(0, 6)$ , так как $f' (x) < 0$

Step 8

Подставим значение из интервала $(6, \infty)$ в производную, чтобы определить, возрастает функция или убывает.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Заменим в этом выражении переменную $x$ на $7$ .

$f' (7) = 4 {(7)}^{3} - 144 \cdot 7$

Упростим результат.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Возведем $7$ в степень $3$ .

$f' (7) = 4 \cdot 343 - 144 \cdot 7$

Умножим $4$ на $343$ .

$f' (7) = 1372 - 144 \cdot 7$

Умножим $- 144$ на $7$ .

$f' (7) = 1372 - 1008$

Вычтем $1008$ из $1372$ .

$f' (7) = 364$

Окончательный ответ: $364$ .

$364$

При $x = 7$ производная имеет вид $364$ . Поскольку это положительная величина, функция возрастает в диапазоне $(6, \infty)$ .

Возрастание в области $(6, \infty)$ , так как $f' (x) > 0$

Step 9

Перечислим интервалы, на которых функция возрастает и убывает.

Возрастание в области: $(- 6, 0), (6, \infty)$

Убывание на: $(- \infty, - 6), (0, 6)$

Step 10