Математический анализ Примеры

$f (x) = 5 x^{4} - 30 x^{2}$

Step 1

Найдем вторую производную.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Найдем первую производную.

Нажмите для увеличения количества этапов...

По правилу суммы производная $5 x^{4} - 30 x^{2}$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [5 x^{4}] + \frac{d}{d x} [- 30 x^{2}]$ .

$f' (x) = \frac{d}{d x} (5 x^{4}) + \frac{d}{d x} (- 30 x^{2})$

Найдем значение $\frac{d}{d x} [5 x^{4}]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Поскольку $5$ является константой относительно $x$ , производная $5 x^{4}$ по $x$ равна $5 \frac{d}{d x} [x^{4}]$ .

$f' (x) = 5 \frac{d}{d x} (x^{4}) + \frac{d}{d x} (- 30 x^{2})$

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 4$ .

$f' (x) = 5 (4 x^{3}) + \frac{d}{d x} (- 30 x^{2})$

Умножим $4$ на $5$ .

$f' (x) = 20 x^{3} + \frac{d}{d x} (- 30 x^{2})$

Найдем значение $\frac{d}{d x} [- 30 x^{2}]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Поскольку $- 30$ является константой относительно $x$ , производная $- 30 x^{2}$ по $x$ равна $- 30 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$f' (x) = 20 x^{3} - 30 \frac{d}{d x} x^{2}$

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 2$ .

$f' (x) = 20 x^{3} - 30 (2 x)$

Умножим $2$ на $- 30$ .

$f' (x) = 20 x^{3} - 60 x$

Найдем вторую производную.

Нажмите для увеличения количества этапов...

По правилу суммы производная $20 x^{3} - 60 x$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [20 x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 60 x]$ .

$f'' (x) = \frac{d}{d x} (20 x^{3}) + \frac{d}{d x} (- 60 x)$

Найдем значение $\frac{d}{d x} [20 x^{3}]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Поскольку $20$ является константой относительно $x$ , производная $20 x^{3}$ по $x$ равна $20 \frac{d}{d x} [x^{3}]$ .

$f'' (x) = 20 \frac{d}{d x} (x^{3}) + \frac{d}{d x} (- 60 x)$

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 3$ .

$f'' (x) = 20 (3 x^{2}) + \frac{d}{d x} (- 60 x)$

Умножим $3$ на $20$ .

$f'' (x) = 60 x^{2} + \frac{d}{d x} (- 60 x)$

Найдем значение $\frac{d}{d x} [- 60 x]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Поскольку $- 60$ является константой относительно $x$ , производная $- 60 x$ по $x$ равна $- 60 \frac{d}{d x} [x]$ .

$f'' (x) = 60 x^{2} - 60 \frac{d}{d x} x$

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$f'' (x) = 60 x^{2} - 60 \cdot 1$

Умножим $- 60$ на $1$ .

$f'' (x) = 60 x^{2} - 60$

Вторая производная $f (x)$ по $x$ равна $60 x^{2} - 60$ .

$60 x^{2} - 60$

Step 2

Приравняем вторую производную к $0$ , затем найдем решение уравнения $60 x^{2} - 60 = 0$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Пусть вторая производная равна $0$ .

$60 x^{2} - 60 = 0$

Добавим $60$ к обеим частям уравнения.

$60 x^{2} = 60$

Разделим каждый член $60 x^{2} = 60$ на $60$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Разделим каждый член $60 x^{2} = 60$ на $60$ .

$\frac{60 x^{2}}{60} = \frac{60}{60}$

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Сократим общий множитель $60$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Сократим общий множитель.

$\frac{60 x^{2}}{60} = \frac{60}{60}$

Разделим $x^{2}$ на $1$ .

$x^{2} = \frac{60}{60}$

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Разделим $60$ на $60$ .

$x^{2} = 1$

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$x = \pm \sqrt{1}$

Любой корень из $1$ равен $1$ .

$x = \pm 1$

Полное решение является результатом как положительных, так и отрицательных частей решения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Сначала с помощью положительного значения $\pm$ найдем первое решение.

$x = 1$

Затем, используя отрицательное значение $\pm$ , найдем второе решение.

$x = - 1$

Полное решение является результатом как положительных, так и отрицательных частей решения.

$x = 1, - 1$

Step 3

Найдем точки, в которых вторая производная равна $0$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Подставим $1$ в $f (x) = 5 x^{4} - 30 x^{2}$ , чтобы найти значение $y$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Заменим в этом выражении переменную $x$ на $1$ .

$f (1) = 5 {(1)}^{4} - 30 {(1)}^{2}$

Упростим результат.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Единица в любой степени равна единице.

$f (1) = 5 \cdot 1 - 30 {(1)}^{2}$

Умножим $5$ на $1$ .

$f (1) = 5 - 30 {(1)}^{2}$

Единица в любой степени равна единице.

$f (1) = 5 - 30 \cdot 1$

Умножим $- 30$ на $1$ .

$f (1) = 5 - 30$

Вычтем $30$ из $5$ .

$f (1) = - 25$

Окончательный ответ: $- 25$ .

$- 25$

Подставляя $1$ в $f (x) = 5 x^{4} - 30 x^{2}$ , найдем точку $(1, - 25)$ . Эта точка может быть точкой перегиба.

$(1, - 25)$

Подставим $- 1$ в $f (x) = 5 x^{4} - 30 x^{2}$ , чтобы найти значение $y$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Заменим в этом выражении переменную $x$ на $- 1$ .

$f (- 1) = 5 {(- 1)}^{4} - 30 {(- 1)}^{2}$

Упростим результат.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Возведем $- 1$ в степень $4$ .

$f (- 1) = 5 \cdot 1 - 30 {(- 1)}^{2}$

Умножим $5$ на $1$ .

$f (- 1) = 5 - 30 {(- 1)}^{2}$

Возведем $- 1$ в степень $2$ .

$f (- 1) = 5 - 30 \cdot 1$

Умножим $- 30$ на $1$ .

$f (- 1) = 5 - 30$

Вычтем $30$ из $5$ .

$f (- 1) = - 25$

Окончательный ответ: $- 25$ .

$- 25$

Подставляя $- 1$ в $f (x) = 5 x^{4} - 30 x^{2}$ , найдем точку $(- 1, - 25)$ . Эта точка может быть точкой перегиба.

$(- 1, - 25)$

Определим точки, которые могут быть точками перегиба.

$(1, - 25), (- 1, - 25)$

Step 4

Разобьем $(- \infty, \infty)$ на интервалы вокруг точек, которые могут быть точками перегиба.

$(- \infty, - 1) \cup (- 1, 1) \cup (1, \infty)$

Step 5

Подставим значение из интервала $(- \infty, - 1)$ во вторую производную, чтобы определить, возрастает она или убывает.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Заменим в этом выражении переменную $x$ на $- 1.1$ .

$f'' (- 1.1) = 60 {(- 1.1)}^{2} - 60$

Упростим результат.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Возведем $- 1.1$ в степень $2$ .

$f'' (- 1.1) = 60 \cdot 1.21 - 60$

Умножим $60$ на $1.21$ .

$f'' (- 1.1) = 72.6 - 60$

Вычтем $60$ из $72.6$ .

$f'' (- 1.1) = 12.6$

Окончательный ответ: $12.6$ .

$12.6$

При $- 1.1$ вторая производная имеет вид $12.6$ . Поскольку это положительная величина, вторая производная возрастает на интервале $(- \infty, - 1)$ .

Возрастание в области $(- \infty, - 1)$ , так как $f'' (x) > 0$

Step 6

Подставим значение из интервала $(- 1, 1)$ во вторую производную, чтобы определить, возрастает она или убывает.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Заменим в этом выражении переменную $x$ на $0$ .

$f'' (0) = 60 {(0)}^{2} - 60$

Упростим результат.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Возведение $0$ в любую положительную степень дает $0$ .

$f'' (0) = 60 \cdot 0 - 60$

Умножим $60$ на $0$ .

$f'' (0) = 0 - 60$

Вычтем $60$ из $0$ .

$f'' (0) = - 60$

Окончательный ответ: $- 60$ .

$- 60$

При $0$ вторая производная имеет вид $- 60$ . Поскольку это отрицательная величина, вторая производная уменьшается на интервале $(- 1, 1)$ .

Убывание на $(- 1, 1)$ , так как $f'' (x) < 0$

Step 7

Подставим значение из интервала $(1, \infty)$ во вторую производную, чтобы определить, возрастает она или убывает.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Заменим в этом выражении переменную $x$ на $1.1$ .

$f'' (1.1) = 60 {(1.1)}^{2} - 60$

Упростим результат.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Возведем $1.1$ в степень $2$ .

$f'' (1.1) = 60 \cdot 1.21 - 60$

Умножим $60$ на $1.21$ .

$f'' (1.1) = 72.6 - 60$

Вычтем $60$ из $72.6$ .

$f'' (1.1) = 12.6$

Окончательный ответ: $12.6$ .

$12.6$

При $1.1$ вторая производная имеет вид $12.6$ . Поскольку это положительная величина, вторая производная возрастает на интервале $(1, \infty)$ .

Возрастание в области $(1, \infty)$ , так как $f'' (x) > 0$

Step 8

An inflection point is a point on a curve at which the concavity changes sign from plus to minus or from minus to plus. The inflection points in this case are $(- 1, - 25), (1, - 25)$ .

$(- 1, - 25), (1, - 25)$

Step 9