Математический анализ Примеры

$\arctan ({(x)}^{2})$

Step 1

Продифференцируем, используя цепное правило (правило дифференцирования сложной функции), которое гласит, что $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ имеет вид $f' (g (x)) g' (x)$ , где $f (x) = \arctan (x)$ и $g (x) = {(x)}^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Чтобы применить цепное правило, зададим $u$ как ${(x)}^{2}$ .

$\frac{d}{d u} [\arctan (u)] \frac{d}{d x} [{(x)}^{2}]$

Производная $\arctan (u)$ по $u$ равна $\frac{1}{1 + u^{2}}$ .

$\frac{1}{1 + u^{2}} \frac{d}{d x} [{(x)}^{2}]$

Заменим все вхождения $u$ на ${(x)}^{2}$ .

$\frac{1}{1 + {(x^{2})}^{2}} \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Step 2

Продифференцируем, используя правило степени.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Перемножим экспоненты в ${(x^{2})}^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{1}{1 + x^{2 \cdot 2}} \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Умножим $2$ на $2$ .

$\frac{1}{1 + x^{4}} \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 2$ .

$\frac{1}{1 + x^{4}} (2 x)$

Объединим дроби.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Объединим $2$ и $\frac{1}{1 + x^{4}}$ .

$\frac{2}{1 + x^{4}} x$

Объединим $\frac{2}{1 + x^{4}}$ и $x$ .

$\frac{2 x}{1 + x^{4}}$

Изменим порядок членов.

$\frac{2 x}{x^{4} + 1}$