Математический анализ Примеры

$f (x) = \frac{x^{2}}{x - 9}$

Step 1

Найдем первую производную функции.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Продифференцируем, используя правило частного, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ имеет вид $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ , где $f (x) = x^{2}$ и $g (x) = x - 9$ .

$\frac{(x - 9) \frac{d}{d x} [x^{2}] - x^{2} \frac{d}{d x} [x - 9]}{{(x - 9)}^{2}}$

Продифференцируем.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 2$ .

$\frac{(x - 9) (2 x) - x^{2} \frac{d}{d x} [x - 9]}{{(x - 9)}^{2}}$

Перенесем $2$ влево от $x - 9$ .

$\frac{2 \cdot (x - 9) x - x^{2} \frac{d}{d x} [x - 9]}{{(x - 9)}^{2}}$

По правилу суммы производная $x - 9$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 9]$ .

$\frac{2 (x - 9) x - x^{2} (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 9])}{{(x - 9)}^{2}}$

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$\frac{2 (x - 9) x - x^{2} (1 + \frac{d}{d x} [- 9])}{{(x - 9)}^{2}}$

Поскольку $- 9$ является константой относительно $x$ , производная $- 9$ относительно $x$ равна $0$ .

$\frac{2 (x - 9) x - x^{2} (1 + 0)}{{(x - 9)}^{2}}$

Упростим выражение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Добавим $1$ и $0$ .

$\frac{2 (x - 9) x - x^{2} \cdot 1}{{(x - 9)}^{2}}$

Умножим $- 1$ на $1$ .

$\frac{2 (x - 9) x - x^{2}}{{(x - 9)}^{2}}$

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{(2 x + 2 \cdot - 9) x - x^{2}}{{(x - 9)}^{2}}$

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{2 x \cdot x + 2 \cdot - 9 x - x^{2}}{{(x - 9)}^{2}}$

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Умножим $x$ на $x$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Перенесем $x$ .

$\frac{2 (x \cdot x) + 2 \cdot - 9 x - x^{2}}{{(x - 9)}^{2}}$

Умножим $x$ на $x$ .

$\frac{2 x^{2} + 2 \cdot - 9 x - x^{2}}{{(x - 9)}^{2}}$

Умножим $2$ на $- 9$ .

$\frac{2 x^{2} - 18 x - x^{2}}{{(x - 9)}^{2}}$

Вычтем $x^{2}$ из $2 x^{2}$ .

$\frac{x^{2} - 18 x}{{(x - 9)}^{2}}$

Вынесем множитель $x$ из $x^{2} - 18 x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Вынесем множитель $x$ из $x^{2}$ .

$\frac{x \cdot x - 18 x}{{(x - 9)}^{2}}$

Вынесем множитель $x$ из $- 18 x$ .

$\frac{x \cdot x + x \cdot - 18}{{(x - 9)}^{2}}$

Вынесем множитель $x$ из $x \cdot x + x \cdot - 18$ .

$\frac{x (x - 18)}{{(x - 9)}^{2}}$

Step 2

Найдем вторую производную функции.

Нажмите для увеличения количества этапов...

$f'' (x) = \frac{{(x - 9)}^{2} \frac{d}{d x} (x (x - 18)) - x (x - 18) \frac{d}{d x} {(x - 9)}^{2}}{{({(x - 9)}^{2})}^{2}}$

Перемножим экспоненты в ${({(x - 9)}^{2})}^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f'' (x) = \frac{{(x - 9)}^{2} \frac{d}{d x} (x (x - 18)) - x (x - 18) \frac{d}{d x} {(x - 9)}^{2}}{{(x - 9)}^{2 \cdot 2}}$

Умножим $2$ на $2$ .

$f'' (x) = \frac{{(x - 9)}^{2} \frac{d}{d x} (x (x - 18)) - x (x - 18) \frac{d}{d x} {(x - 9)}^{2}}{{(x - 9)}^{4}}$

Продифференцируем, используя правило умножения, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ имеет вид $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ , где $f (x) = x$ и $g (x) = x - 18$ .

$f'' (x) = \frac{{(x - 9)}^{2} (x \frac{d}{d x} (x - 18) + (x - 18) \frac{d}{d x} (x)) - x (x - 18) \frac{d}{d x} {(x - 9)}^{2}}{{(x - 9)}^{4}}$

Продифференцируем.

Нажмите для увеличения количества этапов...

По правилу суммы производная $x - 18$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 18]$ .

$f'' (x) = \frac{{(x - 9)}^{2} (x (\frac{d}{d x} (x) + \frac{d}{d x} (- 18)) + (x - 18) \frac{d}{d x} (x)) - x (x - 18) \frac{d}{d x} {(x - 9)}^{2}}{{(x - 9)}^{4}}$

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$f'' (x) = \frac{{(x - 9)}^{2} (x (1 + \frac{d}{d x} (- 18)) + (x - 18) \frac{d}{d x} (x)) - x (x - 18) \frac{d}{d x} {(x - 9)}^{2}}{{(x - 9)}^{4}}$

Поскольку $- 18$ является константой относительно $x$ , производная $- 18$ относительно $x$ равна $0$ .

$f'' (x) = \frac{{(x - 9)}^{2} (x (1 + 0) + (x - 18) \frac{d}{d x} (x)) - x (x - 18) \frac{d}{d x} {(x - 9)}^{2}}{{(x - 9)}^{4}}$

Упростим выражение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Добавим $1$ и $0$ .

$f'' (x) = \frac{{(x - 9)}^{2} (x \cdot 1 + (x - 18) \frac{d}{d x} (x)) - x (x - 18) \frac{d}{d x} {(x - 9)}^{2}}{{(x - 9)}^{4}}$

Умножим $x$ на $1$ .

$f'' (x) = \frac{{(x - 9)}^{2} (x + (x - 18) \frac{d}{d x} (x)) - x (x - 18) \frac{d}{d x} {(x - 9)}^{2}}{{(x - 9)}^{4}}$

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$f'' (x) = \frac{{(x - 9)}^{2} (x + (x - 18) \cdot 1) - x (x - 18) \frac{d}{d x} {(x - 9)}^{2}}{{(x - 9)}^{4}}$

Упростим путем добавления членов.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Умножим $x - 18$ на $1$ .

$f'' (x) = \frac{{(x - 9)}^{2} (x + x - 18) - x (x - 18) \frac{d}{d x} {(x - 9)}^{2}}{{(x - 9)}^{4}}$

Добавим $x$ и $x$ .

$f'' (x) = \frac{{(x - 9)}^{2} (2 x - 18) - x (x - 18) \frac{d}{d x} {(x - 9)}^{2}}{{(x - 9)}^{4}}$

Продифференцируем, используя цепное правило (правило дифференцирования сложной функции), которое гласит, что $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ имеет вид $f' (g (x)) g' (x)$ , где $f (x) = x^{2}$ и $g (x) = x - 9$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Чтобы применить цепное правило, зададим $u$ как $x - 9$ .

$f'' (x) = \frac{{(x - 9)}^{2} (2 x - 18) - x (x - 18) (\frac{d}{d u} (u^{2}) \frac{d}{d x} (x - 9))}{{(x - 9)}^{4}}$

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ имеет вид $n u^{n - 1}$ , где $n = 2$ .

$f'' (x) = \frac{{(x - 9)}^{2} (2 x - 18) - x (x - 18) (2 u \frac{d}{d x} (x - 9))}{{(x - 9)}^{4}}$

Заменим все вхождения $u$ на $x - 9$ .

$f'' (x) = \frac{{(x - 9)}^{2} (2 x - 18) - x (x - 18) (2 (x - 9) \frac{d}{d x} (x - 9))}{{(x - 9)}^{4}}$

Упростим с помощью разложения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Умножим $2$ на $- 1$ .

$f'' (x) = \frac{{(x - 9)}^{2} (2 x - 18) - 2 x (x - 18) ((x - 9) \frac{d}{d x} (x - 9))}{{(x - 9)}^{4}}$

Вынесем множитель $x - 9$ из ${(x - 9)}^{2} (2 x - 18) - 2 x (x - 18) ((x - 9) \frac{d}{d x} [x - 9])$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Вынесем множитель $x - 9$ из ${(x - 9)}^{2} (2 x - 18)$ .

$f'' (x) = \frac{(x - 9) ((x - 9) (2 x - 18)) - 2 x (x - 18) ((x - 9) \frac{d}{d x} (x - 9))}{{(x - 9)}^{4}}$

Вынесем множитель $x - 9$ из $- 2 x (x - 18) ((x - 9) \frac{d}{d x} [x - 9])$ .

$f'' (x) = \frac{(x - 9) ((x - 9) (2 x - 18)) + (x - 9) (- 2 x (x - 18) (\frac{d}{d x} (x - 9)))}{{(x - 9)}^{4}}$

Вынесем множитель $x - 9$ из $(x - 9) ((x - 9) (2 x - 18)) + (x - 9) (- 2 x (x - 18) (\frac{d}{d x} [x - 9]))$ .

$f'' (x) = \frac{(x - 9) ((x - 9) (2 x - 18) - 2 x (x - 18) (\frac{d}{d x} (x - 9)))}{{(x - 9)}^{4}}$

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Вынесем множитель $x - 9$ из ${(x - 9)}^{4}$ .

$f'' (x) = \frac{(x - 9) ((x - 9) (2 x - 18) - 2 x (x - 18) (\frac{d}{d x} (x - 9)))}{(x - 9) {(x - 9)}^{3}}$

Сократим общий множитель.

$f'' (x) = \frac{(x - 9) ((x - 9) (2 x - 18) - 2 x (x - 18) (\frac{d}{d x} (x - 9)))}{(x - 9) {(x - 9)}^{3}}$

Перепишем это выражение.

$f'' (x) = \frac{(x - 9) (2 x - 18) - 2 x (x - 18) (\frac{d}{d x} (x - 9))}{{(x - 9)}^{3}}$

По правилу суммы производная $x - 9$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 9]$ .

$f'' (x) = \frac{(x - 9) (2 x - 18) - 2 x (x - 18) (\frac{d}{d x} (x) + \frac{d}{d x} (- 9))}{{(x - 9)}^{3}}$

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$f'' (x) = \frac{(x - 9) (2 x - 18) - 2 x (x - 18) (1 + \frac{d}{d x} (- 9))}{{(x - 9)}^{3}}$

Поскольку $- 9$ является константой относительно $x$ , производная $- 9$ относительно $x$ равна $0$ .

$f'' (x) = \frac{(x - 9) (2 x - 18) - 2 x (x - 18) (1 + 0)}{{(x - 9)}^{3}}$

Упростим выражение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Добавим $1$ и $0$ .

$f'' (x) = \frac{(x - 9) (2 x - 18) - 2 x (x - 18) \cdot 1}{{(x - 9)}^{3}}$

Умножим $- 2$ на $1$ .

$f'' (x) = \frac{(x - 9) (2 x - 18) - 2 x (x - 18)}{{(x - 9)}^{3}}$

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Применим свойство дистрибутивности.

$f'' (x) = \frac{(x - 9) (2 x - 18) - 2 x \cdot x - 2 x \cdot - 18}{{(x - 9)}^{3}}$

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Развернем $(x - 9) (2 x - 18)$ , используя метод «первые-внешние-внутренние-последние».

Нажмите для увеличения количества этапов...

Применим свойство дистрибутивности.

$f'' (x) = \frac{x (2 x - 18) - 9 (2 x - 18) - 2 x \cdot x - 2 x \cdot - 18}{{(x - 9)}^{3}}$

Применим свойство дистрибутивности.

$f'' (x) = \frac{x (2 x) + x \cdot - 18 - 9 (2 x - 18) - 2 x \cdot x - 2 x \cdot - 18}{{(x - 9)}^{3}}$

Применим свойство дистрибутивности.

$f'' (x) = \frac{x (2 x) + x \cdot - 18 - 9 (2 x) - 9 \cdot - 18 - 2 x \cdot x - 2 x \cdot - 18}{{(x - 9)}^{3}}$

Упростим и объединим подобные члены.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Перепишем, используя свойство коммутативности умножения.

$f'' (x) = \frac{2 x \cdot x + x \cdot - 18 - 9 (2 x) - 9 \cdot - 18 - 2 x \cdot x - 2 x \cdot - 18}{{(x - 9)}^{3}}$

Умножим $x$ на $x$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Перенесем $x$ .

$f'' (x) = \frac{2 (x \cdot x) + x \cdot - 18 - 9 (2 x) - 9 \cdot - 18 - 2 x \cdot x - 2 x \cdot - 18}{{(x - 9)}^{3}}$

Умножим $x$ на $x$ .

$f'' (x) = \frac{2 x^{2} + x \cdot - 18 - 9 (2 x) - 9 \cdot - 18 - 2 x \cdot x - 2 x \cdot - 18}{{(x - 9)}^{3}}$

Перенесем $- 18$ влево от $x$ .

$f'' (x) = \frac{2 x^{2} - 18 \cdot x - 9 (2 x) - 9 \cdot - 18 - 2 x \cdot x - 2 x \cdot - 18}{{(x - 9)}^{3}}$

Умножим $2$ на $- 9$ .

$f'' (x) = \frac{2 x^{2} - 18 x - 18 x - 9 \cdot - 18 - 2 x \cdot x - 2 x \cdot - 18}{{(x - 9)}^{3}}$

Умножим $- 9$ на $- 18$ .

$f'' (x) = \frac{2 x^{2} - 18 x - 18 x + 162 - 2 x \cdot x - 2 x \cdot - 18}{{(x - 9)}^{3}}$

Вычтем $18 x$ из $- 18 x$ .

$f'' (x) = \frac{2 x^{2} - 36 x + 162 - 2 x \cdot x - 2 x \cdot - 18}{{(x - 9)}^{3}}$

Умножим $x$ на $x$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Перенесем $x$ .

$f'' (x) = \frac{2 x^{2} - 36 x + 162 - 2 (x \cdot x) - 2 x \cdot - 18}{{(x - 9)}^{3}}$

Умножим $x$ на $x$ .

$f'' (x) = \frac{2 x^{2} - 36 x + 162 - 2 x^{2} - 2 x \cdot - 18}{{(x - 9)}^{3}}$

Умножим $- 18$ на $- 2$ .

$f'' (x) = \frac{2 x^{2} - 36 x + 162 - 2 x^{2} + 36 x}{{(x - 9)}^{3}}$

Объединим противоположные члены в $2 x^{2} - 36 x + 162 - 2 x^{2} + 36 x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Вычтем $2 x^{2}$ из $2 x^{2}$ .

$f'' (x) = \frac{- 36 x + 162 + 0 + 36 x}{{(x - 9)}^{3}}$

Добавим $- 36 x + 162$ и $0$ .

$f'' (x) = \frac{- 36 x + 162 + 36 x}{{(x - 9)}^{3}}$

Добавим $- 36 x$ и $36 x$ .

$f'' (x) = \frac{0 + 162}{{(x - 9)}^{3}}$

Добавим $0$ и $162$ .

$f'' (x) = \frac{162}{{(x - 9)}^{3}}$

Step 3

Чтобы найти локальные максимумы и минимумы функции, приравняем производную к $0$ и решим полученное уравнение.

$\frac{x (x - 18)}{{(x - 9)}^{2}} = 0$

Step 4

Найдем первую производную.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Найдем первую производную.

Нажмите для увеличения количества этапов...

$f' (x) = \frac{(x - 9) \frac{d}{d x} (x^{2}) - x^{2} \frac{d}{d x} (x - 9)}{{(x - 9)}^{2}}$

Продифференцируем.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 2$ .

$f' (x) = \frac{(x - 9) (2 x) - x^{2} \frac{d}{d x} (x - 9)}{{(x - 9)}^{2}}$

Перенесем $2$ влево от $x - 9$ .

$f' (x) = \frac{2 \cdot ((x - 9) x) - x^{2} \frac{d}{d x} (x - 9)}{{(x - 9)}^{2}}$

По правилу суммы производная $x - 9$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 9]$ .

$f' (x) = \frac{2 (x - 9) x - x^{2} (\frac{d}{d x} (x) + \frac{d}{d x} (- 9))}{{(x - 9)}^{2}}$

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$f' (x) = \frac{2 (x - 9) x - x^{2} (1 + \frac{d}{d x} (- 9))}{{(x - 9)}^{2}}$

Поскольку $- 9$ является константой относительно $x$ , производная $- 9$ относительно $x$ равна $0$ .

$f' (x) = \frac{2 (x - 9) x - x^{2} (1 + 0)}{{(x - 9)}^{2}}$

Упростим выражение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Добавим $1$ и $0$ .

$f' (x) = \frac{2 (x - 9) x - x^{2} \cdot 1}{{(x - 9)}^{2}}$

Умножим $- 1$ на $1$ .

$f' (x) = \frac{2 (x - 9) x - x^{2}}{{(x - 9)}^{2}}$

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Применим свойство дистрибутивности.

$f' (x) = \frac{(2 x + 2 \cdot - 9) x - x^{2}}{{(x - 9)}^{2}}$

Применим свойство дистрибутивности.

$f' (x) = \frac{2 x \cdot x + 2 \cdot (- 9 x) - x^{2}}{{(x - 9)}^{2}}$

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Умножим $x$ на $x$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Перенесем $x$ .

$f' (x) = \frac{2 (x \cdot x) + 2 \cdot (- 9 x) - x^{2}}{{(x - 9)}^{2}}$

Умножим $x$ на $x$ .

$f' (x) = \frac{2 x^{2} + 2 \cdot (- 9 x) - x^{2}}{{(x - 9)}^{2}}$

Умножим $2$ на $- 9$ .

$f' (x) = \frac{2 x^{2} - 18 x - x^{2}}{{(x - 9)}^{2}}$

Вычтем $x^{2}$ из $2 x^{2}$ .

$f' (x) = \frac{x^{2} - 18 x}{{(x - 9)}^{2}}$

Вынесем множитель $x$ из $x^{2} - 18 x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Вынесем множитель $x$ из $x^{2}$ .

$f' (x) = \frac{x \cdot x - 18 x}{{(x - 9)}^{2}}$

Вынесем множитель $x$ из $- 18 x$ .

$f' (x) = \frac{x \cdot x + x \cdot - 18}{{(x - 9)}^{2}}$

Вынесем множитель $x$ из $x \cdot x + x \cdot - 18$ .

$f' (x) = \frac{x (x - 18)}{{(x - 9)}^{2}}$

Первая производная $f (x)$ по $x$ равна $\frac{x (x - 18)}{{(x - 9)}^{2}}$ .

$\frac{x (x - 18)}{{(x - 9)}^{2}}$

Step 5

Приравняем первую производную к $0$ , затем найдем решение уравнения $\frac{x (x - 18)}{{(x - 9)}^{2}} = 0$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Пусть первая производная равна $0$ .

$\frac{x (x - 18)}{{(x - 9)}^{2}} = 0$

Приравняем числитель к нулю.

$x (x - 18) = 0$

Решим уравнение относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Если любой отдельный множитель в левой части уравнения равен $0$ , все выражение равно $0$ .

$x = 0$

$x - 18 = 0$

Приравняем $x$ к $0$ .

$x = 0$

Приравняем $x - 18$ к $0$ , затем решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Приравняем $x - 18$ к $0$ .

$x - 18 = 0$

Добавим $18$ к обеим частям уравнения.

$x = 18$

Окончательным решением являются все значения, при которых $x (x - 18) = 0$ верно.

$x = 0, 18$

Step 6

Найдем значения, при которых производная не определена.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Зададим знаменатель в $\frac{x (x - 18)}{{(x - 9)}^{2}}$ равным $0$ , чтобы узнать, где данное выражение не определено.

${(x - 9)}^{2} = 0$

Решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Приравняем $x - 9$ к $0$ .

$x - 9 = 0$

Добавим $9$ к обеим частям уравнения.

$x = 9$

Step 7

Критические точки, которые необходимо вычислить.

$x = 0, 18$

Step 8

Найдем вторую производную в $x = 0$ . Если вторая производная положительна, то это локальный минимум. Если она отрицательна, то это локальный максимум.

$\frac{162}{{((0) - 9)}^{3}}$

Step 9

Найдем вторую производную.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Упростим знаменатель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Вычтем $9$ из $0$ .

$\frac{162}{{(- 9)}^{3}}$

Возведем $- 9$ в степень $3$ .

$\frac{162}{- 729}$

Сократим выражение, путем отбрасывания общих множителей.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Сократим общий множитель $162$ и $- 729$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Вынесем множитель $81$ из $162$ .

$\frac{81 (2)}{- 729}$

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Вынесем множитель $81$ из $- 729$ .

$\frac{81 \cdot 2}{81 \cdot - 9}$

Сократим общий множитель.

$\frac{81 \cdot 2}{81 \cdot - 9}$

Перепишем это выражение.

$\frac{2}{- 9}$

Вынесем знак минуса перед дробью.

$- \frac{2}{9}$

Step 10

$x = 0$ — локальный максимум, так как вторая производная отрицательная. Это называется тестом второй производной.

$x = 0$ — локальный максимум

Step 11

Найдем значение y, если $x = 0$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Заменим в этом выражении переменную $x$ на $0$ .

$f (0) = \frac{{(0)}^{2}}{(0) - 9}$

Упростим результат.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Возведение $0$ в любую положительную степень дает $0$ .

$f (0) = \frac{0}{0 - 9}$

Вычтем $9$ из $0$ .

$f (0) = \frac{0}{- 9}$

Разделим $0$ на $- 9$ .

$f (0) = 0$

Окончательный ответ: $0$ .

$y = 0$

Step 12

Найдем вторую производную в $x = 18$ . Если вторая производная положительна, то это локальный минимум. Если она отрицательна, то это локальный максимум.

$\frac{162}{{((18) - 9)}^{3}}$

Step 13

Найдем вторую производную.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Упростим знаменатель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Вычтем $9$ из $18$ .

$\frac{162}{9^{3}}$

Возведем $9$ в степень $3$ .

$\frac{162}{729}$

Сократим общий множитель $162$ и $729$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Вынесем множитель $81$ из $162$ .

$\frac{81 (2)}{729}$

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Вынесем множитель $81$ из $729$ .

$\frac{81 \cdot 2}{81 \cdot 9}$

Сократим общий множитель.

$\frac{81 \cdot 2}{81 \cdot 9}$

Перепишем это выражение.

$\frac{2}{9}$

Step 14

$x = 18$ — локальный минимум, так как вторая производная положительная. Это называется тестом второй производной.

$x = 18$ — локальный минимум

Step 15

Найдем значение y, если $x = 18$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Заменим в этом выражении переменную $x$ на $18$ .

$f (18) = \frac{{(18)}^{2}}{(18) - 9}$

Упростим результат.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Возведем $18$ в степень $2$ .

$f (18) = \frac{324}{18 - 9}$

Вычтем $9$ из $18$ .

$f (18) = \frac{324}{9}$

Разделим $324$ на $9$ .

$f (18) = 36$

Окончательный ответ: $36$ .

$y = 36$

Step 16

Это локальные экстремумы $f (x) = \frac{x^{2}}{x - 9}$ .

$(0, 0)$ — локальный максимум

$(18, 36)$ — локальный минимум

Step 17