Математический анализ Примеры

$f (x) = \frac{x^{5} - 5 x}{5}$

Step 1

Найдем первую производную функции.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Поскольку $\frac{1}{5}$ является константой относительно $x$ , производная $\frac{x^{5} - 5 x}{5}$ по $x$ равна $\frac{1}{5} \frac{d}{d x} [x^{5} - 5 x]$ .

$\frac{1}{5} \frac{d}{d x} [x^{5} - 5 x]$

По правилу суммы производная $x^{5} - 5 x$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [x^{5}] + \frac{d}{d x} [- 5 x]$ .

$\frac{1}{5} (\frac{d}{d x} [x^{5}] + \frac{d}{d x} [- 5 x])$

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 5$ .

$\frac{1}{5} (5 x^{4} + \frac{d}{d x} [- 5 x])$

Поскольку $- 5$ является константой относительно $x$ , производная $- 5 x$ по $x$ равна $- 5 \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{1}{5} (5 x^{4} - 5 \frac{d}{d x} [x])$

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$\frac{1}{5} (5 x^{4} - 5 \cdot 1)$

Умножим $- 5$ на $1$ .

$\frac{1}{5} (5 x^{4} - 5)$

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{1}{5} (5 x^{4}) + \frac{1}{5} \cdot - 5$

Объединим термины.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Объединим $5$ и $\frac{1}{5}$ .

$\frac{5}{5} x^{4} + \frac{1}{5} \cdot - 5$

Объединим $\frac{5}{5}$ и $x^{4}$ .

$\frac{5 x^{4}}{5} + \frac{1}{5} \cdot - 5$

Сократим общий множитель $5$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Сократим общий множитель.

$\frac{5 x^{4}}{5} + \frac{1}{5} \cdot - 5$

Разделим $x^{4}$ на $1$ .

$x^{4} + \frac{1}{5} \cdot - 5$

Объединим $\frac{1}{5}$ и $- 5$ .

$x^{4} + \frac{- 5}{5}$

Сократим общий множитель $- 5$ и $5$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Вынесем множитель $5$ из $- 5$ .

$x^{4} + \frac{5 \cdot - 1}{5}$

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Вынесем множитель $5$ из $5$ .

$x^{4} + \frac{5 \cdot - 1}{5 (1)}$

Сократим общий множитель.

$x^{4} + \frac{5 \cdot - 1}{5 \cdot 1}$

Перепишем это выражение.

$x^{4} + \frac{- 1}{1}$

Разделим $- 1$ на $1$ .

$x^{4} - 1$

Step 2

Найдем вторую производную функции.

Нажмите для увеличения количества этапов...

По правилу суммы производная $x^{4} - 1$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [x^{4}] + \frac{d}{d x} [- 1]$ .

$f'' (x) = \frac{d}{d x} (x^{4}) + \frac{d}{d x} (- 1)$

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 4$ .

$f'' (x) = 4 x^{3} + \frac{d}{d x} (- 1)$

Поскольку $- 1$ является константой относительно $x$ , производная $- 1$ относительно $x$ равна $0$ .

$f'' (x) = 4 x^{3} + 0$

Добавим $4 x^{3}$ и $0$ .

$f'' (x) = 4 x^{3}$

Step 3

Чтобы найти локальные максимумы и минимумы функции, приравняем производную к $0$ и решим полученное уравнение.

$x^{4} - 1 = 0$

Step 4

Найдем первую производную.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Найдем первую производную.

Нажмите для увеличения количества этапов...

$f' (x) = \frac{1}{5} \cdot \frac{d}{d x} (x^{5} - 5 x)$

По правилу суммы производная $x^{5} - 5 x$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [x^{5}] + \frac{d}{d x} [- 5 x]$ .

$f' (x) = \frac{1}{5} \cdot (\frac{d}{d x} (x^{5}) + \frac{d}{d x} (- 5 x))$

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 5$ .

$f' (x) = \frac{1}{5} \cdot (5 x^{4} + \frac{d}{d x} (- 5 x))$

Поскольку $- 5$ является константой относительно $x$ , производная $- 5 x$ по $x$ равна $- 5 \frac{d}{d x} [x]$ .

$f' (x) = \frac{1}{5} \cdot (5 x^{4} - 5 \frac{d}{d x} x)$

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$f' (x) = \frac{1}{5} \cdot (5 x^{4} - 5 \cdot 1)$

Умножим $- 5$ на $1$ .

$f' (x) = \frac{1}{5} \cdot (5 x^{4} - 5)$

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Применим свойство дистрибутивности.

$f' (x) = \frac{1}{5} \cdot (5 x^{4}) + \frac{1}{5} \cdot - 5$

Объединим термины.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Объединим $5$ и $\frac{1}{5}$ .

$f' (x) = \frac{5}{5} x^{4} + \frac{1}{5} \cdot - 5$

Объединим $\frac{5}{5}$ и $x^{4}$ .

$f' (x) = \frac{5 x^{4}}{5} + \frac{1}{5} \cdot - 5$

Сократим общий множитель $5$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Сократим общий множитель.

$f' (x) = \frac{5 x^{4}}{5} + \frac{1}{5} \cdot - 5$

Разделим $x^{4}$ на $1$ .

$f' (x) = x^{4} + \frac{1}{5} \cdot - 5$

Объединим $\frac{1}{5}$ и $- 5$ .

$f' (x) = x^{4} + \frac{- 5}{5}$

Сократим общий множитель $- 5$ и $5$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Вынесем множитель $5$ из $- 5$ .

$f' (x) = x^{4} + \frac{5 \cdot - 1}{5}$

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Вынесем множитель $5$ из $5$ .

$f' (x) = x^{4} + \frac{5 \cdot - 1}{5 (1)}$

Сократим общий множитель.

$f' (x) = x^{4} + \frac{5 \cdot - 1}{5 \cdot 1}$

Перепишем это выражение.

$f' (x) = x^{4} + \frac{- 1}{1}$

Разделим $- 1$ на $1$ .

$f' (x) = x^{4} - 1$

Первая производная $f (x)$ по $x$ равна $x^{4} - 1$ .

$x^{4} - 1$

Step 5

Приравняем первую производную к $0$ , затем найдем решение уравнения $x^{4} - 1 = 0$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Пусть первая производная равна $0$ .

$x^{4} - 1 = 0$

Добавим $1$ к обеим частям уравнения.

$x^{4} = 1$

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$x = \pm \sqrt[4]{1}$

Любой корень из $1$ равен $1$ .

$x = \pm 1$

Полное решение является результатом как положительных, так и отрицательных частей решения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Сначала с помощью положительного значения $\pm$ найдем первое решение.

$x = 1$

Затем, используя отрицательное значение $\pm$ , найдем второе решение.

$x = - 1$

Полное решение является результатом как положительных, так и отрицательных частей решения.

$x = 1, - 1$

Step 6

Найдем значения, при которых производная не определена.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Область определения выражения ― все действительные числа, за исключением случаев, когда выражение не определено. В данном случае не существует вещественного числа, при котором выражение не определено.

Step 7

Критические точки, которые необходимо вычислить.

$x = 1, - 1$

Step 8

Найдем вторую производную в $x = 1$ . Если вторая производная положительна, то это локальный минимум. Если она отрицательна, то это локальный максимум.

$4 {(1)}^{3}$

Step 9

Найдем вторую производную.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Единица в любой степени равна единице.

$4 \cdot 1$

Умножим $4$ на $1$ .

$4$

Step 10

$x = 1$ — локальный минимум, так как вторая производная положительная. Это называется тестом второй производной.

$x = 1$ — локальный минимум

Step 11

Найдем значение y, если $x = 1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Заменим в этом выражении переменную $x$ на $1$ .

$f (1) = \frac{{(1)}^{5} - 5 \cdot 1}{5}$

Упростим результат.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Единица в любой степени равна единице.

$f (1) = \frac{1 - 5 \cdot 1}{5}$

Умножим $- 5$ на $1$ .

$f (1) = \frac{1 - 5}{5}$

Вычтем $5$ из $1$ .

$f (1) = \frac{- 4}{5}$

Вынесем знак минуса перед дробью.

$f (1) = - \frac{4}{5}$

Окончательный ответ: $- \frac{4}{5}$ .

$y = - \frac{4}{5}$

Step 12

Найдем вторую производную в $x = - 1$ . Если вторая производная положительна, то это локальный минимум. Если она отрицательна, то это локальный максимум.

$4 {(- 1)}^{3}$

Step 13

Найдем вторую производную.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Возведем $- 1$ в степень $3$ .

$4 \cdot - 1$

Умножим $4$ на $- 1$ .

$- 4$

Step 14

$x = - 1$ — локальный максимум, так как вторая производная отрицательная. Это называется тестом второй производной.

$x = - 1$ — локальный максимум

Step 15

Найдем значение y, если $x = - 1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Заменим в этом выражении переменную $x$ на $- 1$ .

$f (- 1) = \frac{{(- 1)}^{5} - 5 \cdot - 1}{5}$

Упростим результат.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Возведем $- 1$ в степень $5$ .

$f (- 1) = \frac{- 1 - 5 \cdot - 1}{5}$

Умножим $- 5$ на $- 1$ .

$f (- 1) = \frac{- 1 + 5}{5}$

Добавим $- 1$ и $5$ .

$f (- 1) = \frac{4}{5}$

Окончательный ответ: $\frac{4}{5}$ .

$y = \frac{4}{5}$

Step 16

Это локальные экстремумы $f (x) = \frac{x^{5} - 5 x}{5}$ .

$(1, - \frac{4}{5})$ — локальный минимум

$(- 1, \frac{4}{5})$ — локальный максимум

Step 17