Математический анализ Примеры

$y = 4 x - x^{2}$

Step 1

Изменим порядок $4 x$ и $- x^{2}$ .

$y = - x^{2} + 4 x$

Step 2

Примем $y$ как функцию $x$ .

$f (x) = - x^{2} + 4 x$

Step 3

Найдем производную.

Нажмите для увеличения количества этапов...

По правилу суммы производная $- x^{2} + 4 x$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [- x^{2}] + \frac{d}{d x} [4 x]$ .

$\frac{d}{d x} [- x^{2}] + \frac{d}{d x} [4 x]$

Найдем значение $\frac{d}{d x} [- x^{2}]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Поскольку $- 1$ является константой относительно $x$ , производная $- x^{2}$ по $x$ равна $- \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$- \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [4 x]$

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 2$ .

$- (2 x) + \frac{d}{d x} [4 x]$

Умножим $2$ на $- 1$ .

$- 2 x + \frac{d}{d x} [4 x]$

Найдем значение $\frac{d}{d x} [4 x]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Поскольку $4$ является константой относительно $x$ , производная $4 x$ по $x$ равна $4 \frac{d}{d x} [x]$ .

$- 2 x + 4 \frac{d}{d x} [x]$

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$- 2 x + 4 \cdot 1$

Умножим $4$ на $1$ .

$- 2 x + 4$

Step 4

Приравняем производную к $0$ , затем найдем решение уравнения $- 2 x + 4 = 0$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Вычтем $4$ из обеих частей уравнения.

$- 2 x = - 4$

Разделим каждый член $- 2 x = - 4$ на $- 2$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Разделим каждый член $- 2 x = - 4$ на $- 2$ .

$\frac{- 2 x}{- 2} = \frac{- 4}{- 2}$

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Сократим общий множитель $- 2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Сократим общий множитель.

$\frac{- 2 x}{- 2} = \frac{- 4}{- 2}$

Разделим $x$ на $1$ .

$x = \frac{- 4}{- 2}$

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Разделим $- 4$ на $- 2$ .

$x = 2$

Step 5

Решим исходную функцию $f (x) = - x^{2} + 4 x$ в точке $x = 2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Заменим в этом выражении переменную $x$ на $2$ .

$f (2) = - {(2)}^{2} + 4 (2)$

Упростим результат.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Возведем $2$ в степень $2$ .

$f (2) = - 1 \cdot 4 + 4 (2)$

Умножим $- 1$ на $4$ .

$f (2) = - 4 + 4 (2)$

Умножим $4$ на $2$ .

$f (2) = - 4 + 8$

Добавим $- 4$ и $8$ .

$f (2) = 4$

Окончательный ответ: $4$ .

$4$

Step 6

Горизонтальная касательной к графику функции $f (x) = - x^{2} + 4 x$ : $y = 4$ .

$y = 4$

Step 7