Математический анализ Примеры

$f (x) = x^{4} - 128 x^{2} + 4096$

Step 1

Найдем первую производную функции.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Продифференцируем.

Нажмите для увеличения количества этапов...

По правилу суммы производная $x^{4} - 128 x^{2} + 4096$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [x^{4}] + \frac{d}{d x} [- 128 x^{2}] + \frac{d}{d x} [4096]$ .

$\frac{d}{d x} [x^{4}] + \frac{d}{d x} [- 128 x^{2}] + \frac{d}{d x} [4096]$

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 4$ .

$4 x^{3} + \frac{d}{d x} [- 128 x^{2}] + \frac{d}{d x} [4096]$

Найдем значение $\frac{d}{d x} [- 128 x^{2}]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Поскольку $- 128$ является константой относительно $x$ , производная $- 128 x^{2}$ по $x$ равна $- 128 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$4 x^{3} - 128 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [4096]$

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 2$ .

$4 x^{3} - 128 (2 x) + \frac{d}{d x} [4096]$

Умножим $2$ на $- 128$ .

$4 x^{3} - 256 x + \frac{d}{d x} [4096]$

Продифференцируем, используя правило константы.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Поскольку $4096$ является константой относительно $x$ , производная $4096$ относительно $x$ равна $0$ .

$4 x^{3} - 256 x + 0$

Добавим $4 x^{3} - 256 x$ и $0$ .

$4 x^{3} - 256 x$

Step 2

Найдем вторую производную функции.

Нажмите для увеличения количества этапов...

По правилу суммы производная $4 x^{3} - 256 x$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [4 x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 256 x]$ .

$f'' (x) = \frac{d}{d x} (4 x^{3}) + \frac{d}{d x} (- 256 x)$

Найдем значение $\frac{d}{d x} [4 x^{3}]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Поскольку $4$ является константой относительно $x$ , производная $4 x^{3}$ по $x$ равна $4 \frac{d}{d x} [x^{3}]$ .

$f'' (x) = 4 \frac{d}{d x} (x^{3}) + \frac{d}{d x} (- 256 x)$

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 3$ .

$f'' (x) = 4 (3 x^{2}) + \frac{d}{d x} (- 256 x)$

Умножим $3$ на $4$ .

$f'' (x) = 12 x^{2} + \frac{d}{d x} (- 256 x)$

Найдем значение $\frac{d}{d x} [- 256 x]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Поскольку $- 256$ является константой относительно $x$ , производная $- 256 x$ по $x$ равна $- 256 \frac{d}{d x} [x]$ .

$f'' (x) = 12 x^{2} - 256 \frac{d}{d x} x$

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$f'' (x) = 12 x^{2} - 256 \cdot 1$

Умножим $- 256$ на $1$ .

$f'' (x) = 12 x^{2} - 256$

Step 3

Чтобы найти локальные максимумы и минимумы функции, приравняем производную к $0$ и решим полученное уравнение.

$4 x^{3} - 256 x = 0$

Step 4

Найдем первую производную.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Найдем первую производную.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Продифференцируем.

Нажмите для увеличения количества этапов...

По правилу суммы производная $x^{4} - 128 x^{2} + 4096$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [x^{4}] + \frac{d}{d x} [- 128 x^{2}] + \frac{d}{d x} [4096]$ .

$f' (x) = \frac{d}{d x} (x^{4}) + \frac{d}{d x} (- 128 x^{2}) + \frac{d}{d x} (4096)$

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 4$ .

$f' (x) = 4 x^{3} + \frac{d}{d x} (- 128 x^{2}) + \frac{d}{d x} (4096)$

Найдем значение $\frac{d}{d x} [- 128 x^{2}]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Поскольку $- 128$ является константой относительно $x$ , производная $- 128 x^{2}$ по $x$ равна $- 128 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$f' (x) = 4 x^{3} - 128 \frac{d}{d x} x^{2} + \frac{d}{d x} (4096)$

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 2$ .

$f' (x) = 4 x^{3} - 128 (2 x) + \frac{d}{d x} (4096)$

Умножим $2$ на $- 128$ .

$f' (x) = 4 x^{3} - 256 x + \frac{d}{d x} (4096)$

Продифференцируем, используя правило константы.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Поскольку $4096$ является константой относительно $x$ , производная $4096$ относительно $x$ равна $0$ .

$f' (x) = 4 x^{3} - 256 x + 0$

Добавим $4 x^{3} - 256 x$ и $0$ .

$f' (x) = 4 x^{3} - 256 x$

Первая производная $f (x)$ по $x$ равна $4 x^{3} - 256 x$ .

$4 x^{3} - 256 x$

Step 5

Приравняем первую производную к $0$ , затем найдем решение уравнения $4 x^{3} - 256 x = 0$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Пусть первая производная равна $0$ .

$4 x^{3} - 256 x = 0$

Разложим левую часть уравнения на множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Вынесем множитель $4 x$ из $4 x^{3} - 256 x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Вынесем множитель $4 x$ из $4 x^{3}$ .

$4 x (x^{2}) - 256 x = 0$

Вынесем множитель $4 x$ из $- 256 x$ .

$4 x (x^{2}) + 4 x (- 64) = 0$

Вынесем множитель $4 x$ из $4 x (x^{2}) + 4 x (- 64)$ .

$4 x (x^{2} - 64) = 0$

Перепишем $64$ в виде $8^{2}$ .

$4 x (x^{2} - 8^{2}) = 0$

Разложим на множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Поскольку оба члена являются полными квадратами, выполним разложение на множители, используя формулу разности квадратов, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ , где $a = x$ и $b = 8$ .

$4 x ((x + 8) (x - 8)) = 0$

Избавимся от ненужных скобок.

$4 x (x + 8) (x - 8) = 0$

Если любой отдельный множитель в левой части уравнения равен $0$ , все выражение равно $0$ .

$x = 0$

$x + 8 = 0$

$x - 8 = 0$

Приравняем $x$ к $0$ .

$x = 0$

Приравняем $x + 8$ к $0$ , затем решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Приравняем $x + 8$ к $0$ .

$x + 8 = 0$

Вычтем $8$ из обеих частей уравнения.

$x = - 8$

Приравняем $x - 8$ к $0$ , затем решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Приравняем $x - 8$ к $0$ .

$x - 8 = 0$

Добавим $8$ к обеим частям уравнения.

$x = 8$

Окончательным решением являются все значения, при которых $4 x (x + 8) (x - 8) = 0$ верно.

$x = 0, - 8, 8$

Step 6

Найдем значения, при которых производная не определена.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Область определения выражения ― все действительные числа, за исключением случаев, когда выражение не определено. В данном случае не существует вещественного числа, при котором выражение не определено.

Step 7

Критические точки, которые необходимо вычислить.

$x = 0, - 8, 8$

Step 8

Найдем вторую производную в $x = 0$ . Если вторая производная положительна, то это локальный минимум. Если она отрицательна, то это локальный максимум.

$12 {(0)}^{2} - 256$

Step 9

Найдем вторую производную.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Возведение $0$ в любую положительную степень дает $0$ .

$12 \cdot 0 - 256$

Умножим $12$ на $0$ .

$0 - 256$

Вычтем $256$ из $0$ .

$- 256$

Step 10

$x = 0$ — локальный максимум, так как вторая производная отрицательная. Это называется тестом второй производной.

$x = 0$ — локальный максимум

Step 11

Найдем значение y, если $x = 0$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Заменим в этом выражении переменную $x$ на $0$ .

$f (0) = {(0)}^{4} - 128 {(0)}^{2} + 4096$

Упростим результат.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Возведение $0$ в любую положительную степень дает $0$ .

$f (0) = 0 - 128 {(0)}^{2} + 4096$

Возведение $0$ в любую положительную степень дает $0$ .

$f (0) = 0 - 128 \cdot 0 + 4096$

Умножим $- 128$ на $0$ .

$f (0) = 0 + 0 + 4096$

Упростим путем добавления чисел.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Добавим $0$ и $0$ .

$f (0) = 0 + 4096$

Добавим $0$ и $4096$ .

$f (0) = 4096$

Окончательный ответ: $4096$ .

$y = 4096$

Step 12

Найдем вторую производную в $x = - 8$ . Если вторая производная положительна, то это локальный минимум. Если она отрицательна, то это локальный максимум.

$12 {(- 8)}^{2} - 256$

Step 13

Найдем вторую производную.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Возведем $- 8$ в степень $2$ .

$12 \cdot 64 - 256$

Умножим $12$ на $64$ .

$768 - 256$

Вычтем $256$ из $768$ .

$512$

Step 14

$x = - 8$ — локальный минимум, так как вторая производная положительная. Это называется тестом второй производной.

$x = - 8$ — локальный минимум

Step 15

Найдем значение y, если $x = - 8$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Заменим в этом выражении переменную $x$ на $- 8$ .

$f (- 8) = {(- 8)}^{4} - 128 {(- 8)}^{2} + 4096$

Упростим результат.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Возведем $- 8$ в степень $4$ .

$f (- 8) = 4096 - 128 {(- 8)}^{2} + 4096$

Возведем $- 8$ в степень $2$ .

$f (- 8) = 4096 - 128 \cdot 64 + 4096$

Умножим $- 128$ на $64$ .

$f (- 8) = 4096 - 8192 + 4096$

Упростим путем сложения и вычитания.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Вычтем $8192$ из $4096$ .

$f (- 8) = - 4096 + 4096$

Добавим $- 4096$ и $4096$ .

$f (- 8) = 0$

Окончательный ответ: $0$ .

$y = 0$

Step 16

Найдем вторую производную в $x = 8$ . Если вторая производная положительна, то это локальный минимум. Если она отрицательна, то это локальный максимум.

$12 {(8)}^{2} - 256$

Step 17

Найдем вторую производную.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Возведем $8$ в степень $2$ .

$12 \cdot 64 - 256$

Умножим $12$ на $64$ .

$768 - 256$

Вычтем $256$ из $768$ .

$512$

Step 18

$x = 8$ — локальный минимум, так как вторая производная положительная. Это называется тестом второй производной.

$x = 8$ — локальный минимум

Step 19

Найдем значение y, если $x = 8$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Заменим в этом выражении переменную $x$ на $8$ .

$f (8) = {(8)}^{4} - 128 {(8)}^{2} + 4096$

Упростим результат.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Возведем $8$ в степень $4$ .

$f (8) = 4096 - 128 {(8)}^{2} + 4096$

Возведем $8$ в степень $2$ .

$f (8) = 4096 - 128 \cdot 64 + 4096$

Умножим $- 128$ на $64$ .

$f (8) = 4096 - 8192 + 4096$

Упростим путем сложения и вычитания.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Вычтем $8192$ из $4096$ .

$f (8) = - 4096 + 4096$

Добавим $- 4096$ и $4096$ .

$f (8) = 0$

Окончательный ответ: $0$ .

$y = 0$

Step 20

Это локальные экстремумы $f (x) = x^{4} - 128 x^{2} + 4096$ .

$(0, 4096)$ — локальный максимум

$(- 8, 0)$ — локальный минимум

$(8, 0)$ — локальный минимум

Step 21