Математический анализ Примеры

$lim_{x \to 0} \frac{x + \sin (x)}{x}$

Step 1

Применим правило Лопиталя.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Найдем предел числителя и предел знаменателя.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Возьмем предел числителя и предел знаменателя.

$\frac{lim_{x \to 0} x + \sin (x)}{lim_{x \to 0} x}$

Найдем предел числителя.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Разобьем предел с помощью правила суммы пределов при стремлении $x$ к $0$ .

$\frac{lim_{x \to 0} x + lim_{x \to 0} \sin (x)}{lim_{x \to 0} x}$

Перенесем предел внутрь тригонометрической функции, поскольку синус является непрерывной функцией.

$\frac{lim_{x \to 0} x + \sin (lim_{x \to 0} x)}{lim_{x \to 0} x}$

Найдем значения пределов, подставив значение $0$ для всех вхождений $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Найдем предел $x$ , подставив значение $0$ для $x$ .

$\frac{0 + \sin (lim_{x \to 0} x)}{lim_{x \to 0} x}$

Найдем предел $x$ , подставив значение $0$ для $x$ .

$\frac{0 + \sin (0)}{lim_{x \to 0} x}$

Упростим ответ.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Точное значение $\sin (0)$ : $0$ .

$\frac{0 + 0}{lim_{x \to 0} x}$

Добавим $0$ и $0$ .

$\frac{0}{lim_{x \to 0} x}$

Найдем предел $x$ , подставив значение $0$ для $x$ .

$\frac{0}{0}$

Выражение содержит деление на $0$ . Выражение не определено.

Неопределенные

$\frac{0}{0}$

Поскольку $\frac{0}{0}$ является неопределенной формой, применяется правило Лопиталя. Правило Лопиталя гласит, что предел отношения функций равен пределу отношения их производных.

$lim_{x \to 0} \frac{x + \sin (x)}{x} = lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d x} [x + \sin (x)]}{\frac{d}{d x} [x]}$

Найдем производную числителя и знаменателя.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Продифференцируем числитель и знаменатель.

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d x} [x + \sin (x)]}{\frac{d}{d x} [x]}$

По правилу суммы производная $x + \sin (x)$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [\sin (x)]$ .

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [\sin (x)]}{\frac{d}{d x} [x]}$

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$lim_{x \to 0} \frac{1 + \frac{d}{d x} [\sin (x)]}{\frac{d}{d x} [x]}$

Производная $\sin (x)$ по $x$ равна $\cos (x)$ .

$lim_{x \to 0} \frac{1 + \cos (x)}{\frac{d}{d x} [x]}$

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$lim_{x \to 0} \frac{1 + \cos (x)}{1}$

Разделим $1 + \cos (x)$ на $1$ .

$lim_{x \to 0} 1 + \cos (x)$

Step 2

Вычислим предел.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Разобьем предел с помощью правила суммы пределов при стремлении $x$ к $0$ .

$lim_{x \to 0} 1 + lim_{x \to 0} \cos (x)$

Найдем предел $1$ , который является константой по мере приближения $x$ к $0$ .

$1 + lim_{x \to 0} \cos (x)$

Перенесем предел внутрь тригонометрической функции, поскольку косинус является непрерывной функцией.

$1 + \cos (lim_{x \to 0} x)$

Step 3

Найдем предел $x$ , подставив значение $0$ для $x$ .

$1 + \cos (0)$

Step 4

Упростим ответ.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Точное значение $\cos (0)$ : $1$ .

$1 + 1$

Добавим $1$ и $1$ .

$2$