Математический анализ Примеры

$y = \sqrt{\ln (3 x)}$

Step 1

С помощью $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ запишем $\sqrt{\ln (3 x)}$ в виде ${\ln (3 x)}^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{d}{d x} [{\ln (3 x)}^{\frac{1}{2}}]$

Step 2

Продифференцируем, используя цепное правило (правило дифференцирования сложной функции), которое гласит, что $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ имеет вид $f' (g (x)) g' (x)$ , где $f (x) = x^{\frac{1}{2}}$ и $g (x) = \ln (3 x)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Чтобы применить цепное правило, зададим $u_{1}$ как $\ln (3 x)$ .

$\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{\frac{1}{2}}] \frac{d}{d x} [\ln (3 x)]$

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{n}]$ имеет вид $n {u_{1}}^{n - 1}$ , где $n = \frac{1}{2}$ .

$\frac{1}{2} {u_{1}}^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} [\ln (3 x)]$

Заменим все вхождения $u_{1}$ на $\ln (3 x)$ .

$\frac{1}{2} {\ln (3 x)}^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} [\ln (3 x)]$

Step 3

Чтобы записать $- 1$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{2}{2}$ .

$\frac{1}{2} {\ln (3 x)}^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}} \frac{d}{d x} [\ln (3 x)]$

Step 4

Объединим $- 1$ и $\frac{2}{2}$ .

$\frac{1}{2} {\ln (3 x)}^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} [\ln (3 x)]$

Step 5

Объединим числители над общим знаменателем.

$\frac{1}{2} {\ln (3 x)}^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} [\ln (3 x)]$

Step 6

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Умножим $- 1$ на $2$ .

$\frac{1}{2} {\ln (3 x)}^{\frac{1 - 2}{2}} \frac{d}{d x} [\ln (3 x)]$

Вычтем $2$ из $1$ .

$\frac{1}{2} {\ln (3 x)}^{\frac{- 1}{2}} \frac{d}{d x} [\ln (3 x)]$

Step 7

Объединим дроби.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Вынесем знак минуса перед дробью.

$\frac{1}{2} {\ln (3 x)}^{- \frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [\ln (3 x)]$

Объединим $\frac{1}{2}$ и ${\ln (3 x)}^{- \frac{1}{2}}$ .

$\frac{{\ln (3 x)}^{- \frac{1}{2}}}{2} \frac{d}{d x} [\ln (3 x)]$

Перенесем ${\ln (3 x)}^{- \frac{1}{2}}$ в знаменатель, используя правило отрицательных степеней $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{1}{2 {\ln (3 x)}^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d x} [\ln (3 x)]$

Step 8

Нажмите для увеличения количества этапов...

Чтобы применить цепное правило, зададим $u_{2}$ как $3 x$ .

$\frac{1}{2 {\ln (3 x)}^{\frac{1}{2}}} (\frac{d}{d u_{2}} [\ln (u_{2})] \frac{d}{d x} [3 x])$

Производная $\ln (u_{2})$ по $u_{2}$ равна $\frac{1}{u_{2}}$ .

$\frac{1}{2 {\ln (3 x)}^{\frac{1}{2}}} (\frac{1}{u_{2}} \frac{d}{d x} [3 x])$

Заменим все вхождения $u_{2}$ на $3 x$ .

$\frac{1}{2 {\ln (3 x)}^{\frac{1}{2}}} (\frac{1}{3 x} \frac{d}{d x} [3 x])$

Step 9

Продифференцируем, используя правило умножения на константу.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Умножим $\frac{1}{3 x}$ на $\frac{1}{2 {\ln (3 x)}^{\frac{1}{2}}}$ .

$\frac{1}{3 x (2 {\ln (3 x)}^{\frac{1}{2}})} \frac{d}{d x} [3 x]$

Умножим $2$ на $3$ .

$\frac{1}{6 x {\ln (3 x)}^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d x} [3 x]$

Поскольку $3$ является константой относительно $x$ , производная $3 x$ по $x$ равна $3 \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{1}{6 x {\ln (3 x)}^{\frac{1}{2}}} (3 \frac{d}{d x} [x])$

Упростим члены.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Объединим $3$ и $\frac{1}{6 x {\ln (3 x)}^{\frac{1}{2}}}$ .

$\frac{3}{6 x {\ln (3 x)}^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d x} [x]$

Вынесем множитель $3$ из $3$ .

$\frac{3 (1)}{6 x {\ln (3 x)}^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d x} [x]$

Step 10

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Вынесем множитель $3$ из $6 x {\ln (3 x)}^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{3 (1)}{3 (2 x {\ln (3 x)}^{\frac{1}{2}})} \frac{d}{d x} [x]$

Сократим общий множитель.

$\frac{3 \cdot 1}{3 (2 x {\ln (3 x)}^{\frac{1}{2}})} \frac{d}{d x} [x]$

Перепишем это выражение.

$\frac{1}{2 x {\ln (3 x)}^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d x} [x]$

Step 11

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$\frac{1}{2 x {\ln (3 x)}^{\frac{1}{2}}} \cdot 1$

Step 12

Умножим $\frac{1}{2 x {\ln (3 x)}^{\frac{1}{2}}}$ на $1$ .

$\frac{1}{2 x {\ln (3 x)}^{\frac{1}{2}}}$