Математический анализ Примеры

$y = x^{2} \ln (4 x)$

Step 1

Продифференцируем, используя правило умножения, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ имеет вид $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ , где $f (x) = x^{2}$ и $g (x) = \ln (4 x)$ .

$x^{2} \frac{d}{d x} [\ln (4 x)] + \ln (4 x) \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Step 2

Продифференцируем, используя цепное правило (правило дифференцирования сложной функции), которое гласит, что $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ имеет вид $f' (g (x)) g' (x)$ , где $f (x) = \ln (x)$ и $g (x) = 4 x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Чтобы применить цепное правило, зададим $u$ как $4 x$ .

$x^{2} (\frac{d}{d u} [\ln (u)] \frac{d}{d x} [4 x]) + \ln (4 x) \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Производная $\ln (u)$ по $u$ равна $\frac{1}{u}$ .

$x^{2} (\frac{1}{u} \frac{d}{d x} [4 x]) + \ln (4 x) \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Заменим все вхождения $u$ на $4 x$ .

$x^{2} (\frac{1}{4 x} \frac{d}{d x} [4 x]) + \ln (4 x) \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Step 3

Продифференцируем.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Объединим $\frac{1}{4 x}$ и $x^{2}$ .

$\frac{x^{2}}{4 x} \frac{d}{d x} [4 x] + \ln (4 x) \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Сократим общий множитель $x^{2}$ и $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Вынесем множитель $x$ из $x^{2}$ .

$\frac{x \cdot x}{4 x} \frac{d}{d x} [4 x] + \ln (4 x) \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Вынесем множитель $x$ из $4 x$ .

$\frac{x \cdot x}{x \cdot 4} \frac{d}{d x} [4 x] + \ln (4 x) \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Сократим общий множитель.

$\frac{x \cdot x}{x \cdot 4} \frac{d}{d x} [4 x] + \ln (4 x) \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Перепишем это выражение.

$\frac{x}{4} \frac{d}{d x} [4 x] + \ln (4 x) \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Поскольку $4$ является константой относительно $x$ , производная $4 x$ по $x$ равна $4 \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{x}{4} (4 \frac{d}{d x} [x]) + \ln (4 x) \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Упростим члены.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Объединим $4$ и $\frac{x}{4}$ .

$\frac{4 x}{4} \frac{d}{d x} [x] + \ln (4 x) \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Сократим общий множитель $4$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Сократим общий множитель.

$\frac{4 x}{4} \frac{d}{d x} [x] + \ln (4 x) \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Разделим $x$ на $1$ .

$x \frac{d}{d x} [x] + \ln (4 x) \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$x \cdot 1 + \ln (4 x) \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Умножим $x$ на $1$ .

$x + \ln (4 x) \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 2$ .

$x + \ln (4 x) (2 x)$

Изменим порядок членов.

$2 x \ln (4 x) + x$