Математический анализ Примеры

$f (x) = x^{4} - 4 x^{3}$

Step 1

Find the $x$ values where the second derivative is equal to $0$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Найдем вторую производную.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Найдем первую производную.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Продифференцируем.

Нажмите для увеличения количества этапов...

По правилу суммы производная $x^{4} - 4 x^{3}$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [x^{4}] + \frac{d}{d x} [- 4 x^{3}]$ .

$f' (x) = \frac{d}{d x} (x^{4}) + \frac{d}{d x} (- 4 x^{3})$

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 4$ .

$f' (x) = 4 x^{3} + \frac{d}{d x} (- 4 x^{3})$

Найдем значение $\frac{d}{d x} [- 4 x^{3}]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Поскольку $- 4$ является константой относительно $x$ , производная $- 4 x^{3}$ по $x$ равна $- 4 \frac{d}{d x} [x^{3}]$ .

$f' (x) = 4 x^{3} - 4 \frac{d}{d x} x^{3}$

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 3$ .

$f' (x) = 4 x^{3} - 4 (3 x^{2})$

Умножим $3$ на $- 4$ .

$f' (x) = 4 x^{3} - 12 x^{2}$

Найдем вторую производную.

Нажмите для увеличения количества этапов...

По правилу суммы производная $4 x^{3} - 12 x^{2}$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [4 x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 12 x^{2}]$ .

$f'' (x) = \frac{d}{d x} (4 x^{3}) + \frac{d}{d x} (- 12 x^{2})$

Найдем значение $\frac{d}{d x} [4 x^{3}]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Поскольку $4$ является константой относительно $x$ , производная $4 x^{3}$ по $x$ равна $4 \frac{d}{d x} [x^{3}]$ .

$f'' (x) = 4 \frac{d}{d x} (x^{3}) + \frac{d}{d x} (- 12 x^{2})$

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 3$ .

$f'' (x) = 4 (3 x^{2}) + \frac{d}{d x} (- 12 x^{2})$

Умножим $3$ на $4$ .

$f'' (x) = 12 x^{2} + \frac{d}{d x} (- 12 x^{2})$

Найдем значение $\frac{d}{d x} [- 12 x^{2}]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Поскольку $- 12$ является константой относительно $x$ , производная $- 12 x^{2}$ по $x$ равна $- 12 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$f'' (x) = 12 x^{2} - 12 \frac{d}{d x} x^{2}$

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 2$ .

$f'' (x) = 12 x^{2} - 12 (2 x)$

Умножим $2$ на $- 12$ .

$f'' (x) = 12 x^{2} - 24 x$

Вторая производная $f (x)$ по $x$ равна $12 x^{2} - 24 x$ .

$12 x^{2} - 24 x$

Приравняем вторую производную к $0$ , затем найдем решение уравнения $12 x^{2} - 24 x = 0$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Пусть вторая производная равна $0$ .

$12 x^{2} - 24 x = 0$

Вынесем множитель $12 x$ из $12 x^{2} - 24 x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Вынесем множитель $12 x$ из $12 x^{2}$ .

$12 x (x) - 24 x = 0$

Вынесем множитель $12 x$ из $- 24 x$ .

$12 x (x) + 12 x (- 2) = 0$

Вынесем множитель $12 x$ из $12 x (x) + 12 x (- 2)$ .

$12 x (x - 2) = 0$

Если любой отдельный множитель в левой части уравнения равен $0$ , все выражение равно $0$ .

$x = 0$

$x - 2 = 0$

Приравняем $x$ к $0$ .

$x = 0$

Приравняем $x - 2$ к $0$ , затем решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Приравняем $x - 2$ к $0$ .

$x - 2 = 0$

Добавим $2$ к обеим частям уравнения.

$x = 2$

Окончательным решением являются все значения, при которых $12 x (x - 2) = 0$ верно.

$x = 0, 2$

Step 2

Область определения выражения ― все действительные числа, за исключением случаев, когда выражение не определено. В данном случае не существует вещественного числа, при котором выражение не определено.

Интервальное представление:

$(- \infty, \infty)$

Обозначение построения множества:

${x | x \in ℝ}$

Step 3

Создадим интервалы вокруг значений $x$ , в которых вторая производная равна нулю или не определена.

$(- \infty, 0) \cup (0, 2) \cup (2, \infty)$

Step 4

Подставим любое число из интервала $(- \infty, 0)$ в выражение для второй производной и вычислим выпуклость.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Заменим в этом выражении переменную $x$ на $- 2$ .

$f'' (- 2) = 12 {(- 2)}^{2} - 24 \cdot - 2$

Упростим результат.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Возведем $- 2$ в степень $2$ .

$f'' (- 2) = 12 \cdot 4 - 24 \cdot - 2$

Умножим $12$ на $4$ .

$f'' (- 2) = 48 - 24 \cdot - 2$

Умножим $- 24$ на $- 2$ .

$f'' (- 2) = 48 + 48$

Добавим $48$ и $48$ .

$f'' (- 2) = 96$

Окончательный ответ: $96$ .

$96$

График вогнут вверх на интервале $(- \infty, 0)$ , поскольку $f'' (- 2)$ имеет положительное значение.

Вогнутость вверх на интервале $(- \infty, 0)$ , поскольку $f'' (x)$ больше нуля

Step 5

Подставим любое число из интервала $(0, 2)$ в выражение для второй производной и вычислим выпуклость.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Заменим в этом выражении переменную $x$ на $1$ .

$f'' (1) = 12 {(1)}^{2} - 24 \cdot 1$

Упростим результат.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Единица в любой степени равна единице.

$f'' (1) = 12 \cdot 1 - 24 \cdot 1$

Умножим $12$ на $1$ .

$f'' (1) = 12 - 24 \cdot 1$

Умножим $- 24$ на $1$ .

$f'' (1) = 12 - 24$

Вычтем $24$ из $12$ .

$f'' (1) = - 12$

Окончательный ответ: $- 12$ .

$- 12$

График вогнут вниз на интервале $(0, 2)$ , поскольку $f'' (1)$ имеет отрицательное значение.

Вогнутость вниз на интервале $(0, 2)$ , поскольку $f'' (x)$ меньше нуля

Step 6

Подставим любое число из интервала $(2, \infty)$ в выражение для второй производной и вычислим выпуклость.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Заменим в этом выражении переменную $x$ на $4$ .

$f'' (4) = 12 {(4)}^{2} - 24 \cdot 4$

Упростим результат.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Возведем $4$ в степень $2$ .

$f'' (4) = 12 \cdot 16 - 24 \cdot 4$

Умножим $12$ на $16$ .

$f'' (4) = 192 - 24 \cdot 4$

Умножим $- 24$ на $4$ .

$f'' (4) = 192 - 96$

Вычтем $96$ из $192$ .

$f'' (4) = 96$

Окончательный ответ: $96$ .

$96$

График вогнут вверх на интервале $(2, \infty)$ , поскольку $f'' (4)$ имеет положительное значение.

Вогнутость вверх на интервале $(2, \infty)$ , поскольку $f'' (x)$ больше нуля

Step 7

График вогнут вниз, когда вторая производная отрицательна, и вогнут вверх, когда вторая производная положительна.

Вогнутость вверх на интервале $(- \infty, 0)$ , поскольку $f'' (x)$ больше нуля

Вогнутость вниз на интервале $(0, 2)$ , поскольку $f'' (x)$ меньше нуля

Вогнутость вверх на интервале $(2, \infty)$ , поскольку $f'' (x)$ больше нуля

Step 8