Математический анализ Примеры

$\int x^{2} \ln (x) d x$

Step 1

Проинтегрируем по частям, используя формулу $\int u d v = u v - \int v d u$ , где $u = \ln (x)$ и $d v = x^{2}$ .

$\ln (x) (\frac{1}{3} x^{3}) - \int \frac{1}{3} x^{3} \frac{1}{x} d x$

Step 2

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Объединим $\frac{1}{3}$ и $x^{3}$ .

$\ln (x) \frac{x^{3}}{3} - \int \frac{1}{3} x^{3} \frac{1}{x} d x$

Объединим $\ln (x)$ и $\frac{x^{3}}{3}$ .

$\frac{\ln (x) x^{3}}{3} - \int \frac{1}{3} x^{3} \frac{1}{x} d x$

Step 3

Поскольку $\frac{1}{3}$ — константа по отношению к $x$ , вынесем $\frac{1}{3}$ из-под знака интеграла.

$\frac{\ln (x) x^{3}}{3} - (\frac{1}{3} \int x^{3} \frac{1}{x} d x)$

Step 4

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Объединим $x^{3}$ и $\frac{1}{x}$ .

$\frac{\ln (x) x^{3}}{3} - (\frac{1}{3} \int \frac{x^{3}}{x} d x)$

Сократим общий множитель $x^{3}$ и $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Вынесем множитель $x$ из $x^{3}$ .

$\frac{\ln (x) x^{3}}{3} - (\frac{1}{3} \int \frac{x \cdot x^{2}}{x} d x)$

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Возведем $x$ в степень $1$ .

$\frac{\ln (x) x^{3}}{3} - (\frac{1}{3} \int \frac{x \cdot x^{2}}{x^{1}} d x)$

Вынесем множитель $x$ из $x^{1}$ .

$\frac{\ln (x) x^{3}}{3} - (\frac{1}{3} \int \frac{x \cdot x^{2}}{x \cdot 1} d x)$

Сократим общий множитель.

$\frac{\ln (x) x^{3}}{3} - (\frac{1}{3} \int \frac{x \cdot x^{2}}{x \cdot 1} d x)$

Перепишем это выражение.

$\frac{\ln (x) x^{3}}{3} - (\frac{1}{3} \int \frac{x^{2}}{1} d x)$

Разделим $x^{2}$ на $1$ .

$\frac{\ln (x) x^{3}}{3} - (\frac{1}{3} \int x^{2} d x)$

$\frac{\ln (x) x^{3}}{3} - \frac{1}{3} \int x^{2} d x$

Step 5

По правилу степени интеграл $x^{2}$ по $x$ имеет вид $\frac{1}{3} x^{3}$ .

$\frac{\ln (x) x^{3}}{3} - \frac{1}{3} (\frac{1}{3} x^{3} + C)$

Step 6

Упростим ответ.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Перепишем $\frac{\ln (x) x^{3}}{3} - \frac{1}{3} (\frac{1}{3} x^{3} + C)$ в виде $\frac{1}{3} \ln (x) x^{3} - \frac{1}{3} \cdot \frac{1}{3} x^{3} + C$ .

$\frac{1}{3} \ln (x) x^{3} - \frac{1}{3} \cdot \frac{1}{3} x^{3} + C$

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Объединим $\frac{1}{3}$ и $\ln (x)$ .

$\frac{\ln (x)}{3} x^{3} - \frac{1}{3} \cdot \frac{1}{3} x^{3} + C$

Объединим $\frac{\ln (x)}{3}$ и $x^{3}$ .

$\frac{\ln (x) x^{3}}{3} - \frac{1}{3} \cdot \frac{1}{3} x^{3} + C$

Умножим $\frac{1}{3}$ на $\frac{1}{3}$ .

$\frac{\ln (x) x^{3}}{3} - \frac{1}{3 \cdot 3} x^{3} + C$

Умножим $3$ на $3$ .

$\frac{\ln (x) x^{3}}{3} - \frac{1}{9} x^{3} + C$

Объединим $x^{3}$ и $\frac{1}{9}$ .

$\frac{\ln (x) x^{3}}{3} - \frac{x^{3}}{9} + C$

Изменим порядок членов.

$\frac{1}{3} \ln (x) x^{3} - \frac{1}{9} x^{3} + C$