Алгебра Примеры

$\frac{x}{x^{2} + 36}$

Step 1

Запишем $\frac{x}{x^{2} + 36}$ в виде функции.

$f (x) = \frac{x}{x^{2} + 36}$

Step 2

Найдем вторую производную.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Найдем первую производную.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Продифференцируем, используя правило частного, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ имеет вид $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ , где $f (x) = x$ и $g (x) = x^{2} + 36$ .

$f' (x) = \frac{(x^{2} + 36) \frac{d}{d x} (x) - x \frac{d}{d x} (x^{2} + 36)}{{(x^{2} + 36)}^{2}}$

Продифференцируем.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$f' (x) = \frac{(x^{2} + 36) \cdot 1 - x \frac{d}{d x} (x^{2} + 36)}{{(x^{2} + 36)}^{2}}$

Умножим $x^{2} + 36$ на $1$ .

$f' (x) = \frac{x^{2} + 36 - x \frac{d}{d x} (x^{2} + 36)}{{(x^{2} + 36)}^{2}}$

По правилу суммы производная $x^{2} + 36$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [36]$ .

$f' (x) = \frac{x^{2} + 36 - x (\frac{d}{d x} (x^{2}) + \frac{d}{d x} (36))}{{(x^{2} + 36)}^{2}}$

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 2$ .

$f' (x) = \frac{x^{2} + 36 - x (2 x + \frac{d}{d x} (36))}{{(x^{2} + 36)}^{2}}$

Поскольку $36$ является константой относительно $x$ , производная $36$ относительно $x$ равна $0$ .

$f' (x) = \frac{x^{2} + 36 - x (2 x + 0)}{{(x^{2} + 36)}^{2}}$

Упростим выражение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Добавим $2 x$ и $0$ .

$f' (x) = \frac{x^{2} + 36 - x (2 x)}{{(x^{2} + 36)}^{2}}$

Умножим $2$ на $- 1$ .

$f' (x) = \frac{x^{2} + 36 - 2 x \cdot x}{{(x^{2} + 36)}^{2}}$

Возведем $x$ в степень $1$ .

$f' (x) = \frac{x^{2} + 36 - 2 (x \cdot x)}{{(x^{2} + 36)}^{2}}$

Возведем $x$ в степень $1$ .

$f' (x) = \frac{x^{2} + 36 - 2 (x \cdot x)}{{(x^{2} + 36)}^{2}}$

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$f' (x) = \frac{x^{2} + 36 - 2 x^{1 + 1}}{{(x^{2} + 36)}^{2}}$

Добавим $1$ и $1$ .

$f' (x) = \frac{x^{2} + 36 - 2 x^{2}}{{(x^{2} + 36)}^{2}}$

Вычтем $2 x^{2}$ из $x^{2}$ .

$f' (x) = \frac{- x^{2} + 36}{{(x^{2} + 36)}^{2}}$

Найдем вторую производную.

Нажмите для увеличения количества этапов...

$f'' (x) = \frac{{(x^{2} + 36)}^{2} \frac{d}{d x} (- x^{2} + 36) - (- x^{2} + 36) \frac{d}{d x} {(x^{2} + 36)}^{2}}{{({(x^{2} + 36)}^{2})}^{2}}$

Продифференцируем.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Перемножим экспоненты в ${({(x^{2} + 36)}^{2})}^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f'' (x) = \frac{{(x^{2} + 36)}^{2} \frac{d}{d x} (- x^{2} + 36) - (- x^{2} + 36) \frac{d}{d x} {(x^{2} + 36)}^{2}}{{(x^{2} + 36)}^{2 \cdot 2}}$

Умножим $2$ на $2$ .

$f'' (x) = \frac{{(x^{2} + 36)}^{2} \frac{d}{d x} (- x^{2} + 36) - (- x^{2} + 36) \frac{d}{d x} {(x^{2} + 36)}^{2}}{{(x^{2} + 36)}^{4}}$

По правилу суммы производная $- x^{2} + 36$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [- x^{2}] + \frac{d}{d x} [36]$ .

$f'' (x) = \frac{{(x^{2} + 36)}^{2} (\frac{d}{d x} (- x^{2}) + \frac{d}{d x} (36)) - (- x^{2} + 36) \frac{d}{d x} {(x^{2} + 36)}^{2}}{{(x^{2} + 36)}^{4}}$

Поскольку $- 1$ является константой относительно $x$ , производная $- x^{2}$ по $x$ равна $- \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$f'' (x) = \frac{{(x^{2} + 36)}^{2} (- \frac{d}{d x} x^{2} + \frac{d}{d x} (36)) - (- x^{2} + 36) \frac{d}{d x} {(x^{2} + 36)}^{2}}{{(x^{2} + 36)}^{4}}$

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 2$ .

$f'' (x) = \frac{{(x^{2} + 36)}^{2} (- (2 x) + \frac{d}{d x} (36)) - (- x^{2} + 36) \frac{d}{d x} {(x^{2} + 36)}^{2}}{{(x^{2} + 36)}^{4}}$

Умножим $2$ на $- 1$ .

$f'' (x) = \frac{{(x^{2} + 36)}^{2} (- 2 x + \frac{d}{d x} (36)) - (- x^{2} + 36) \frac{d}{d x} {(x^{2} + 36)}^{2}}{{(x^{2} + 36)}^{4}}$

Поскольку $36$ является константой относительно $x$ , производная $36$ относительно $x$ равна $0$ .

$f'' (x) = \frac{{(x^{2} + 36)}^{2} (- 2 x + 0) - (- x^{2} + 36) \frac{d}{d x} {(x^{2} + 36)}^{2}}{{(x^{2} + 36)}^{4}}$

Добавим $- 2 x$ и $0$ .

$f'' (x) = \frac{{(x^{2} + 36)}^{2} (- 2 x) - (- x^{2} + 36) \frac{d}{d x} {(x^{2} + 36)}^{2}}{{(x^{2} + 36)}^{4}}$

Продифференцируем, используя цепное правило (правило дифференцирования сложной функции), которое гласит, что $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ имеет вид $f' (g (x)) g' (x)$ , где $f (x) = x^{2}$ и $g (x) = x^{2} + 36$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Чтобы применить цепное правило, зададим $u$ как $x^{2} + 36$ .

$f'' (x) = \frac{{(x^{2} + 36)}^{2} (- 2 x) - (- x^{2} + 36) (\frac{d}{d u} (u^{2}) \frac{d}{d x} (x^{2} + 36))}{{(x^{2} + 36)}^{4}}$

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ имеет вид $n u^{n - 1}$ , где $n = 2$ .

$f'' (x) = \frac{{(x^{2} + 36)}^{2} (- 2 x) - (- x^{2} + 36) (2 u \frac{d}{d x} (x^{2} + 36))}{{(x^{2} + 36)}^{4}}$

Заменим все вхождения $u$ на $x^{2} + 36$ .

$f'' (x) = \frac{{(x^{2} + 36)}^{2} (- 2 x) - (- x^{2} + 36) (2 (x^{2} + 36) \frac{d}{d x} (x^{2} + 36))}{{(x^{2} + 36)}^{4}}$

Продифференцируем.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Умножим $2$ на $- 1$ .

$f'' (x) = \frac{{(x^{2} + 36)}^{2} (- 2 x) - 2 (- x^{2} + 36) ((x^{2} + 36) \frac{d}{d x} (x^{2} + 36))}{{(x^{2} + 36)}^{4}}$

По правилу суммы производная $x^{2} + 36$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [36]$ .

$f'' (x) = \frac{{(x^{2} + 36)}^{2} (- 2 x) - 2 (- x^{2} + 36) ((x^{2} + 36) (\frac{d}{d x} (x^{2}) + \frac{d}{d x} (36)))}{{(x^{2} + 36)}^{4}}$

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 2$ .

$f'' (x) = \frac{{(x^{2} + 36)}^{2} (- 2 x) - 2 (- x^{2} + 36) ((x^{2} + 36) (2 x + \frac{d}{d x} (36)))}{{(x^{2} + 36)}^{4}}$

Поскольку $36$ является константой относительно $x$ , производная $36$ относительно $x$ равна $0$ .

$f'' (x) = \frac{{(x^{2} + 36)}^{2} (- 2 x) - 2 (- x^{2} + 36) ((x^{2} + 36) (2 x + 0))}{{(x^{2} + 36)}^{4}}$

Упростим выражение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Добавим $2 x$ и $0$ .

$f'' (x) = \frac{{(x^{2} + 36)}^{2} (- 2 x) - 2 (- x^{2} + 36) ((x^{2} + 36) (2 x))}{{(x^{2} + 36)}^{4}}$

Перенесем $2$ влево от $x^{2} + 36$ .

$f'' (x) = \frac{{(x^{2} + 36)}^{2} (- 2 x) - 2 (- x^{2} + 36) (2 \cdot ((x^{2} + 36) x))}{{(x^{2} + 36)}^{4}}$

Умножим $2$ на $- 2$ .

$f'' (x) = \frac{{(x^{2} + 36)}^{2} (- 2 x) - 4 (- x^{2} + 36) ((x^{2} + 36) x)}{{(x^{2} + 36)}^{4}}$

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Применим свойство дистрибутивности.

$f'' (x) = \frac{{(x^{2} + 36)}^{2} (- 2 x) + (- 4 (- x^{2}) - 4 \cdot 36) ((x^{2} + 36) x)}{{(x^{2} + 36)}^{4}}$

Применим свойство дистрибутивности.

$f'' (x) = \frac{{(x^{2} + 36)}^{2} (- 2 x) + (- 4 (- x^{2}) - 4 \cdot 36) (x^{2} x + 36 x)}{{(x^{2} + 36)}^{4}}$

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Перепишем, используя свойство коммутативности умножения.

$f'' (x) = \frac{- 2 {(x^{2} + 36)}^{2} x + (- 4 (- x^{2}) - 4 \cdot 36) (x^{2} x + 36 x)}{{(x^{2} + 36)}^{4}}$

Перепишем ${(x^{2} + 36)}^{2}$ в виде $(x^{2} + 36) (x^{2} + 36)$ .

$f'' (x) = \frac{- 2 ((x^{2} + 36) (x^{2} + 36)) x + (- 4 (- x^{2}) - 4 \cdot 36) (x^{2} x + 36 x)}{{(x^{2} + 36)}^{4}}$

Развернем $(x^{2} + 36) (x^{2} + 36)$ , используя метод «первые-внешние-внутренние-последние».

Нажмите для увеличения количества этапов...

Применим свойство дистрибутивности.

$f'' (x) = \frac{- 2 (x^{2} (x^{2} + 36) + 36 (x^{2} + 36)) x + (- 4 (- x^{2}) - 4 \cdot 36) (x^{2} x + 36 x)}{{(x^{2} + 36)}^{4}}$

Применим свойство дистрибутивности.

$f'' (x) = \frac{- 2 (x^{2} x^{2} + x^{2} \cdot 36 + 36 (x^{2} + 36)) x + (- 4 (- x^{2}) - 4 \cdot 36) (x^{2} x + 36 x)}{{(x^{2} + 36)}^{4}}$

Применим свойство дистрибутивности.

$f'' (x) = \frac{- 2 (x^{2} x^{2} + x^{2} \cdot 36 + 36 x^{2} + 36 \cdot 36) x + (- 4 (- x^{2}) - 4 \cdot 36) (x^{2} x + 36 x)}{{(x^{2} + 36)}^{4}}$

Упростим и объединим подобные члены.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Умножим $x^{2}$ на $x^{2}$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$f'' (x) = \frac{- 2 (x^{2 + 2} + x^{2} \cdot 36 + 36 x^{2} + 36 \cdot 36) x + (- 4 (- x^{2}) - 4 \cdot 36) (x^{2} x + 36 x)}{{(x^{2} + 36)}^{4}}$

Добавим $2$ и $2$ .

$f'' (x) = \frac{- 2 (x^{4} + x^{2} \cdot 36 + 36 x^{2} + 36 \cdot 36) x + (- 4 (- x^{2}) - 4 \cdot 36) (x^{2} x + 36 x)}{{(x^{2} + 36)}^{4}}$

Перенесем $36$ влево от $x^{2}$ .

$f'' (x) = \frac{- 2 (x^{4} + 36 \cdot x^{2} + 36 x^{2} + 36 \cdot 36) x + (- 4 (- x^{2}) - 4 \cdot 36) (x^{2} x + 36 x)}{{(x^{2} + 36)}^{4}}$

Умножим $36$ на $36$ .

$f'' (x) = \frac{- 2 (x^{4} + 36 x^{2} + 36 x^{2} + 1296) x + (- 4 (- x^{2}) - 4 \cdot 36) (x^{2} x + 36 x)}{{(x^{2} + 36)}^{4}}$

Добавим $36 x^{2}$ и $36 x^{2}$ .

$f'' (x) = \frac{- 2 (x^{4} + 72 x^{2} + 1296) x + (- 4 (- x^{2}) - 4 \cdot 36) (x^{2} x + 36 x)}{{(x^{2} + 36)}^{4}}$

Применим свойство дистрибутивности.

$f'' (x) = \frac{(- 2 x^{4} - 2 (72 x^{2}) - 2 \cdot 1296) x + (- 4 (- x^{2}) - 4 \cdot 36) (x^{2} x + 36 x)}{{(x^{2} + 36)}^{4}}$

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Умножим $72$ на $- 2$ .

$f'' (x) = \frac{(- 2 x^{4} - 144 x^{2} - 2 \cdot 1296) x + (- 4 (- x^{2}) - 4 \cdot 36) (x^{2} x + 36 x)}{{(x^{2} + 36)}^{4}}$

Умножим $- 2$ на $1296$ .

$f'' (x) = \frac{(- 2 x^{4} - 144 x^{2} - 2592) x + (- 4 (- x^{2}) - 4 \cdot 36) (x^{2} x + 36 x)}{{(x^{2} + 36)}^{4}}$

Применим свойство дистрибутивности.

$f'' (x) = \frac{- 2 x^{4} x - 144 x^{2} x - 2592 x + (- 4 (- x^{2}) - 4 \cdot 36) (x^{2} x + 36 x)}{{(x^{2} + 36)}^{4}}$

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Умножим $x^{4}$ на $x$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Перенесем $x$ .

$f'' (x) = \frac{- 2 (x \cdot x^{4}) - 144 x^{2} x - 2592 x + (- 4 (- x^{2}) - 4 \cdot 36) (x^{2} x + 36 x)}{{(x^{2} + 36)}^{4}}$

Умножим $x$ на $x^{4}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Возведем $x$ в степень $1$ .

$f'' (x) = \frac{- 2 (x \cdot x^{4}) - 144 x^{2} x - 2592 x + (- 4 (- x^{2}) - 4 \cdot 36) (x^{2} x + 36 x)}{{(x^{2} + 36)}^{4}}$

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$f'' (x) = \frac{- 2 x^{1 + 4} - 144 x^{2} x - 2592 x + (- 4 (- x^{2}) - 4 \cdot 36) (x^{2} x + 36 x)}{{(x^{2} + 36)}^{4}}$

Добавим $1$ и $4$ .

$f'' (x) = \frac{- 2 x^{5} - 144 x^{2} x - 2592 x + (- 4 (- x^{2}) - 4 \cdot 36) (x^{2} x + 36 x)}{{(x^{2} + 36)}^{4}}$

Умножим $x^{2}$ на $x$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Перенесем $x$ .

$f'' (x) = \frac{- 2 x^{5} - 144 (x \cdot x^{2}) - 2592 x + (- 4 (- x^{2}) - 4 \cdot 36) (x^{2} x + 36 x)}{{(x^{2} + 36)}^{4}}$

Умножим $x$ на $x^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Возведем $x$ в степень $1$ .

$f'' (x) = \frac{- 2 x^{5} - 144 (x \cdot x^{2}) - 2592 x + (- 4 (- x^{2}) - 4 \cdot 36) (x^{2} x + 36 x)}{{(x^{2} + 36)}^{4}}$

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$f'' (x) = \frac{- 2 x^{5} - 144 x^{1 + 2} - 2592 x + (- 4 (- x^{2}) - 4 \cdot 36) (x^{2} x + 36 x)}{{(x^{2} + 36)}^{4}}$

Добавим $1$ и $2$ .

$f'' (x) = \frac{- 2 x^{5} - 144 x^{3} - 2592 x + (- 4 (- x^{2}) - 4 \cdot 36) (x^{2} x + 36 x)}{{(x^{2} + 36)}^{4}}$

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Умножим $- 1$ на $- 4$ .

$f'' (x) = \frac{- 2 x^{5} - 144 x^{3} - 2592 x + (4 x^{2} - 4 \cdot 36) (x^{2} x + 36 x)}{{(x^{2} + 36)}^{4}}$

Умножим $- 4$ на $36$ .

$f'' (x) = \frac{- 2 x^{5} - 144 x^{3} - 2592 x + (4 x^{2} - 144) (x^{2} x + 36 x)}{{(x^{2} + 36)}^{4}}$

Умножим $x^{2}$ на $x$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Умножим $x^{2}$ на $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Возведем $x$ в степень $1$ .

$f'' (x) = \frac{- 2 x^{5} - 144 x^{3} - 2592 x + (4 x^{2} - 144) (x^{2} x + 36 x)}{{(x^{2} + 36)}^{4}}$

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$f'' (x) = \frac{- 2 x^{5} - 144 x^{3} - 2592 x + (4 x^{2} - 144) (x^{2 + 1} + 36 x)}{{(x^{2} + 36)}^{4}}$

Добавим $2$ и $1$ .

$f'' (x) = \frac{- 2 x^{5} - 144 x^{3} - 2592 x + (4 x^{2} - 144) (x^{3} + 36 x)}{{(x^{2} + 36)}^{4}}$

Развернем $(4 x^{2} - 144) (x^{3} + 36 x)$ , используя метод «первые-внешние-внутренние-последние».

Нажмите для увеличения количества этапов...

Применим свойство дистрибутивности.

$f'' (x) = \frac{- 2 x^{5} - 144 x^{3} - 2592 x + 4 x^{2} (x^{3} + 36 x) - 144 (x^{3} + 36 x)}{{(x^{2} + 36)}^{4}}$

Применим свойство дистрибутивности.

$f'' (x) = \frac{- 2 x^{5} - 144 x^{3} - 2592 x + 4 x^{2} x^{3} + 4 x^{2} (36 x) - 144 (x^{3} + 36 x)}{{(x^{2} + 36)}^{4}}$

Применим свойство дистрибутивности.

$f'' (x) = \frac{- 2 x^{5} - 144 x^{3} - 2592 x + 4 x^{2} x^{3} + 4 x^{2} (36 x) - 144 x^{3} - 144 (36 x)}{{(x^{2} + 36)}^{4}}$

Упростим и объединим подобные члены.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Умножим $x^{2}$ на $x^{3}$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Перенесем $x^{3}$ .

$f'' (x) = \frac{- 2 x^{5} - 144 x^{3} - 2592 x + 4 (x^{3} x^{2}) + 4 x^{2} (36 x) - 144 x^{3} - 144 (36 x)}{{(x^{2} + 36)}^{4}}$

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$f'' (x) = \frac{- 2 x^{5} - 144 x^{3} - 2592 x + 4 x^{3 + 2} + 4 x^{2} (36 x) - 144 x^{3} - 144 (36 x)}{{(x^{2} + 36)}^{4}}$

Добавим $3$ и $2$ .

$f'' (x) = \frac{- 2 x^{5} - 144 x^{3} - 2592 x + 4 x^{5} + 4 x^{2} (36 x) - 144 x^{3} - 144 (36 x)}{{(x^{2} + 36)}^{4}}$

Перепишем, используя свойство коммутативности умножения.

$f'' (x) = \frac{- 2 x^{5} - 144 x^{3} - 2592 x + 4 x^{5} + 4 \cdot (36 x^{2} x) - 144 x^{3} - 144 (36 x)}{{(x^{2} + 36)}^{4}}$

Умножим $x^{2}$ на $x$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Перенесем $x$ .

$f'' (x) = \frac{- 2 x^{5} - 144 x^{3} - 2592 x + 4 x^{5} + 4 \cdot (36 (x \cdot x^{2})) - 144 x^{3} - 144 (36 x)}{{(x^{2} + 36)}^{4}}$

Умножим $x$ на $x^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Возведем $x$ в степень $1$ .

$f'' (x) = \frac{- 2 x^{5} - 144 x^{3} - 2592 x + 4 x^{5} + 4 \cdot (36 (x \cdot x^{2})) - 144 x^{3} - 144 (36 x)}{{(x^{2} + 36)}^{4}}$

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$f'' (x) = \frac{- 2 x^{5} - 144 x^{3} - 2592 x + 4 x^{5} + 4 \cdot (36 x^{1 + 2}) - 144 x^{3} - 144 (36 x)}{{(x^{2} + 36)}^{4}}$

Добавим $1$ и $2$ .

$f'' (x) = \frac{- 2 x^{5} - 144 x^{3} - 2592 x + 4 x^{5} + 4 \cdot (36 x^{3}) - 144 x^{3} - 144 (36 x)}{{(x^{2} + 36)}^{4}}$

Умножим $4$ на $36$ .

$f'' (x) = \frac{- 2 x^{5} - 144 x^{3} - 2592 x + 4 x^{5} + 144 x^{3} - 144 x^{3} - 144 (36 x)}{{(x^{2} + 36)}^{4}}$

Умножим $36$ на $- 144$ .

$f'' (x) = \frac{- 2 x^{5} - 144 x^{3} - 2592 x + 4 x^{5} + 144 x^{3} - 144 x^{3} - 5184 x}{{(x^{2} + 36)}^{4}}$

Вычтем $144 x^{3}$ из $144 x^{3}$ .

$f'' (x) = \frac{- 2 x^{5} - 144 x^{3} - 2592 x + 4 x^{5} + 0 - 5184 x}{{(x^{2} + 36)}^{4}}$

Добавим $4 x^{5}$ и $0$ .

$f'' (x) = \frac{- 2 x^{5} - 144 x^{3} - 2592 x + 4 x^{5} - 5184 x}{{(x^{2} + 36)}^{4}}$

Добавим $- 2 x^{5}$ и $4 x^{5}$ .

$f'' (x) = \frac{2 x^{5} - 144 x^{3} - 2592 x - 5184 x}{{(x^{2} + 36)}^{4}}$

Вычтем $5184 x$ из $- 2592 x$ .

$f'' (x) = \frac{2 x^{5} - 144 x^{3} - 7776 x}{{(x^{2} + 36)}^{4}}$

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Вынесем множитель $2 x$ из $2 x^{5} - 144 x^{3} - 7776 x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Вынесем множитель $2 x$ из $2 x^{5}$ .

$f'' (x) = \frac{2 x (x^{4}) - 144 x^{3} - 7776 x}{{(x^{2} + 36)}^{4}}$

Вынесем множитель $2 x$ из $- 144 x^{3}$ .

$f'' (x) = \frac{2 x (x^{4}) + 2 x (- 72 x^{2}) - 7776 x}{{(x^{2} + 36)}^{4}}$

Вынесем множитель $2 x$ из $- 7776 x$ .

$f'' (x) = \frac{2 x (x^{4}) + 2 x (- 72 x^{2}) + 2 x (- 3888)}{{(x^{2} + 36)}^{4}}$

Вынесем множитель $2 x$ из $2 x (x^{4}) + 2 x (- 72 x^{2})$ .

$f'' (x) = \frac{2 x (x^{4} - 72 x^{2}) + 2 x (- 3888)}{{(x^{2} + 36)}^{4}}$

Вынесем множитель $2 x$ из $2 x (x^{4} - 72 x^{2}) + 2 x (- 3888)$ .

$f'' (x) = \frac{2 x (x^{4} - 72 x^{2} - 3888)}{{(x^{2} + 36)}^{4}}$

Перепишем $x^{4}$ в виде ${(x^{2})}^{2}$ .

$f'' (x) = \frac{2 x ({(x^{2})}^{2} - 72 x^{2} - 3888)}{{(x^{2} + 36)}^{4}}$

Пусть $u = x^{2}$ . Подставим $u$ вместо $x^{2}$ для всех.

$f'' (x) = \frac{2 x (u^{2} - 72 u - 3888)}{{(x^{2} + 36)}^{4}}$

Разложим $u^{2} - 72 u - 3888$ на множители, используя метод группировки.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Рассмотрим форму $x^{2} + b x + c$ . Найдем пару целых чисел, произведение которых равно $c$ , а сумма — $b$ . В данном случае произведение чисел равно $- 3888$ , а сумма — $- 72$ .

$- 108, 36$

Запишем разложение на множители, используя данные целые числа.

$f'' (x) = \frac{2 x ((u - 108) (u + 36))}{{(x^{2} + 36)}^{4}}$

Заменим все вхождения $u$ на $x^{2}$ .

$f'' (x) = \frac{2 x (x^{2} - 108) (x^{2} + 36)}{{(x^{2} + 36)}^{4}}$

Сократим общий множитель $x^{2} + 36$ и ${(x^{2} + 36)}^{4}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Вынесем множитель $x^{2} + 36$ из $2 x (x^{2} - 108) (x^{2} + 36)$ .

$f'' (x) = \frac{(x^{2} + 36) (2 x (x^{2} - 108))}{{(x^{2} + 36)}^{4}}$

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Вынесем множитель $x^{2} + 36$ из ${(x^{2} + 36)}^{4}$ .

$f'' (x) = \frac{(x^{2} + 36) (2 x (x^{2} - 108))}{(x^{2} + 36) {(x^{2} + 36)}^{3}}$

Сократим общий множитель.

$f'' (x) = \frac{(x^{2} + 36) (2 x (x^{2} - 108))}{(x^{2} + 36) {(x^{2} + 36)}^{3}}$

Перепишем это выражение.

$f'' (x) = \frac{2 x (x^{2} - 108)}{{(x^{2} + 36)}^{3}}$

Вторая производная $f (x)$ по $x$ равна $\frac{2 x (x^{2} - 108)}{{(x^{2} + 36)}^{3}}$ .

$\frac{2 x (x^{2} - 108)}{{(x^{2} + 36)}^{3}}$

Step 3

Приравняем вторую производную к $0$ , затем найдем решение уравнения $\frac{2 x (x^{2} - 108)}{{(x^{2} + 36)}^{3}} = 0$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Пусть вторая производная равна $0$ .

$\frac{2 x (x^{2} - 108)}{{(x^{2} + 36)}^{3}} = 0$

Приравняем числитель к нулю.

$2 x (x^{2} - 108) = 0$

Решим уравнение относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Если любой отдельный множитель в левой части уравнения равен $0$ , все выражение равно $0$ .

$x = 0$

$x^{2} - 108 = 0$

Приравняем $x$ к $0$ .

$x = 0$

Приравняем $x^{2} - 108$ к $0$ , затем решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Приравняем $x^{2} - 108$ к $0$ .

$x^{2} - 108 = 0$

Решим $x^{2} - 108 = 0$ относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Добавим $108$ к обеим частям уравнения.

$x^{2} = 108$

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$x = \pm \sqrt{108}$

Упростим $\pm \sqrt{108}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Перепишем $108$ в виде $6^{2} \cdot 3$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Вынесем множитель $36$ из $108$ .

$x = \pm \sqrt{36 (3)}$

Перепишем $36$ в виде $6^{2}$ .

$x = \pm \sqrt{6^{2} \cdot 3}$

Вынесем члены из-под знака корня.

$x = \pm 6 \sqrt{3}$

Полное решение является результатом как положительных, так и отрицательных частей решения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Сначала с помощью положительного значения $\pm$ найдем первое решение.

$x = 6 \sqrt{3}$

Затем, используя отрицательное значение $\pm$ , найдем второе решение.

$x = - 6 \sqrt{3}$

Полное решение является результатом как положительных, так и отрицательных частей решения.

$x = 6 \sqrt{3}, - 6 \sqrt{3}$

Окончательным решением являются все значения, при которых $2 x (x^{2} - 108) = 0$ верно.

$x = 0, 6 \sqrt{3}, - 6 \sqrt{3}$

Step 4

Найдем точки, в которых вторая производная равна $0$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Подставим $0$ в $f (x) = \frac{x}{x^{2} + 36}$ , чтобы найти значение $y$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Заменим в этом выражении переменную $x$ на $0$ .

$f (0) = \frac{0}{{(0)}^{2} + 36}$

Упростим результат.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Упростим знаменатель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Возведение $0$ в любую положительную степень дает $0$ .

$f (0) = \frac{0}{0 + 36}$

Добавим $0$ и $36$ .

$f (0) = \frac{0}{36}$

Разделим $0$ на $36$ .

$f (0) = 0$

Окончательный ответ: $0$ .

$0$

Подставляя $0$ в $f (x) = \frac{x}{x^{2} + 36}$ , найдем точку $(0, 0)$ . Эта точка может быть точкой перегиба.

$(0, 0)$

Подставим $6 \sqrt{3}$ в $f (x) = \frac{x}{x^{2} + 36}$ , чтобы найти значение $y$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Заменим в этом выражении переменную $x$ на $6 \sqrt{3}$ .

$f (6 \sqrt{3}) = \frac{6 \sqrt{3}}{{(6 \sqrt{3})}^{2} + 36}$

Упростим результат.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Упростим знаменатель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Применим правило умножения к $6 \sqrt{3}$ .

$f (6 \sqrt{3}) = \frac{6 \sqrt{3}}{6^{2} {\sqrt{3}}^{2} + 36}$

Возведем $6$ в степень $2$ .

$f (6 \sqrt{3}) = \frac{6 \sqrt{3}}{36 {\sqrt{3}}^{2} + 36}$

Перепишем ${\sqrt{3}}^{2}$ в виде $3$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

С помощью $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ запишем $\sqrt{3}$ в виде $3^{\frac{1}{2}}$ .

$f (6 \sqrt{3}) = \frac{6 \sqrt{3}}{36 {(3^{\frac{1}{2}})}^{2} + 36}$

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f (6 \sqrt{3}) = \frac{6 \sqrt{3}}{36 \cdot 3^{\frac{1}{2} \cdot 2} + 36}$

Объединим $\frac{1}{2}$ и $2$ .

$f (6 \sqrt{3}) = \frac{6 \sqrt{3}}{36 \cdot 3^{\frac{2}{2}} + 36}$

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Сократим общий множитель.

$f (6 \sqrt{3}) = \frac{6 \sqrt{3}}{36 \cdot 3^{\frac{2}{2}} + 36}$

Перепишем это выражение.

$f (6 \sqrt{3}) = \frac{6 \sqrt{3}}{36 \cdot 3 + 36}$

Найдем экспоненту.

$f (6 \sqrt{3}) = \frac{6 \sqrt{3}}{36 \cdot 3 + 36}$

Умножим $36$ на $3$ .

$f (6 \sqrt{3}) = \frac{6 \sqrt{3}}{108 + 36}$

Добавим $108$ и $36$ .

$f (6 \sqrt{3}) = \frac{6 \sqrt{3}}{144}$

Сократим общий множитель $6$ и $144$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Вынесем множитель $6$ из $6 \sqrt{3}$ .

$f (6 \sqrt{3}) = \frac{6 (\sqrt{3})}{144}$

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Вынесем множитель $6$ из $144$ .

$f (6 \sqrt{3}) = \frac{6 \sqrt{3}}{6 \cdot 24}$

Сократим общий множитель.

$f (6 \sqrt{3}) = \frac{6 \sqrt{3}}{6 \cdot 24}$

Перепишем это выражение.

$f (6 \sqrt{3}) = \frac{\sqrt{3}}{24}$

Окончательный ответ: $\frac{\sqrt{3}}{24}$ .

$\frac{\sqrt{3}}{24}$

Подставляя $6 \sqrt{3}$ в $f (x) = \frac{x}{x^{2} + 36}$ , найдем точку $(6 \sqrt{3}, \frac{\sqrt{3}}{24})$ . Эта точка может быть точкой перегиба.

$(6 \sqrt{3}, \frac{\sqrt{3}}{24})$

Подставим $- 6 \sqrt{3}$ в $f (x) = \frac{x}{x^{2} + 36}$ , чтобы найти значение $y$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Заменим в этом выражении переменную $x$ на $- 6 \sqrt{3}$ .

$f (- 6 \sqrt{3}) = \frac{- 6 \sqrt{3}}{{(- 6 \sqrt{3})}^{2} + 36}$

Упростим результат.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Упростим знаменатель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Применим правило умножения к $- 6 \sqrt{3}$ .

$f (- 6 \sqrt{3}) = \frac{- 6 \sqrt{3}}{{(- 6)}^{2} {\sqrt{3}}^{2} + 36}$

Возведем $- 6$ в степень $2$ .

$f (- 6 \sqrt{3}) = \frac{- 6 \sqrt{3}}{36 {\sqrt{3}}^{2} + 36}$

Перепишем ${\sqrt{3}}^{2}$ в виде $3$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

С помощью $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ запишем $\sqrt{3}$ в виде $3^{\frac{1}{2}}$ .

$f (- 6 \sqrt{3}) = \frac{- 6 \sqrt{3}}{36 {(3^{\frac{1}{2}})}^{2} + 36}$

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f (- 6 \sqrt{3}) = \frac{- 6 \sqrt{3}}{36 \cdot 3^{\frac{1}{2} \cdot 2} + 36}$

Объединим $\frac{1}{2}$ и $2$ .

$f (- 6 \sqrt{3}) = \frac{- 6 \sqrt{3}}{36 \cdot 3^{\frac{2}{2}} + 36}$

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Сократим общий множитель.

$f (- 6 \sqrt{3}) = \frac{- 6 \sqrt{3}}{36 \cdot 3^{\frac{2}{2}} + 36}$

Перепишем это выражение.

$f (- 6 \sqrt{3}) = \frac{- 6 \sqrt{3}}{36 \cdot 3 + 36}$

Найдем экспоненту.

$f (- 6 \sqrt{3}) = \frac{- 6 \sqrt{3}}{36 \cdot 3 + 36}$

Умножим $36$ на $3$ .

$f (- 6 \sqrt{3}) = \frac{- 6 \sqrt{3}}{108 + 36}$

Добавим $108$ и $36$ .

$f (- 6 \sqrt{3}) = \frac{- 6 \sqrt{3}}{144}$

Сократим выражение, путем отбрасывания общих множителей.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Сократим общий множитель $- 6$ и $144$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Вынесем множитель $6$ из $- 6 \sqrt{3}$ .

$f (- 6 \sqrt{3}) = \frac{6 (- \sqrt{3})}{144}$

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Вынесем множитель $6$ из $144$ .

$f (- 6 \sqrt{3}) = \frac{6 (- \sqrt{3})}{6 (24)}$

Сократим общий множитель.

$f (- 6 \sqrt{3}) = \frac{6 (- \sqrt{3})}{6 \cdot 24}$

Перепишем это выражение.

$f (- 6 \sqrt{3}) = \frac{- \sqrt{3}}{24}$

Вынесем знак минуса перед дробью.

$f (- 6 \sqrt{3}) = - \frac{\sqrt{3}}{24}$

Окончательный ответ: $- \frac{\sqrt{3}}{24}$ .

$- \frac{\sqrt{3}}{24}$

Подставляя $- 6 \sqrt{3}$ в $f (x) = \frac{x}{x^{2} + 36}$ , найдем точку $(- 6 \sqrt{3}, - \frac{\sqrt{3}}{24})$ . Эта точка может быть точкой перегиба.

$(- 6 \sqrt{3}, - \frac{\sqrt{3}}{24})$

Определим точки, которые могут быть точками перегиба.

$(0, 0), (6 \sqrt{3}, \frac{\sqrt{3}}{24}), (- 6 \sqrt{3}, - \frac{\sqrt{3}}{24})$

Step 5

Разобьем $(- \infty, \infty)$ на интервалы вокруг точек, которые могут быть точками перегиба.

$(- \infty, - 6 \sqrt{3}) \cup (- 6 \sqrt{3}, 0) \cup (0, 6 \sqrt{3}) \cup (6 \sqrt{3}, \infty)$

Step 6

Подставим значение из интервала $(- \infty, - 6 \sqrt{3})$ во вторую производную, чтобы определить, возрастает она или убывает.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Заменим в этом выражении переменную $x$ на $- 10.49230484$ .

$f'' (- 10.49230484) = \frac{2 (- 10.49230484) ({(- 10.49230484)}^{2} - 108)}{{({(- 10.49230484)}^{2} + 36)}^{3}}$

Упростим результат.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Умножим $2$ на $- 10.49230484$ .

$f'' (- 10.49230484) = \frac{- 20.98460969 ({(- 10.49230484)}^{2} - 108)}{{({(- 10.49230484)}^{2} + 36)}^{3}}$

Умножим $- 20.98460969$ на ${(- 10.49230484)}^{2} - 108$ .

$f'' (- 10.49230484) = \frac{- 43.82553829}{{({(- 10.49230484)}^{2} + 36)}^{3}}$

Упростим знаменатель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Возведем $- 10.49230484$ в степень $2$ .

$f'' (- 10.49230484) = \frac{- 43.82553829}{{(110.08846096 + 36)}^{3}}$

Добавим $110.08846096$ и $36$ .

$f'' (- 10.49230484) = \frac{- 43.82553829}{{146.08846096}^{3}}$

Возведем $146.08846096$ в степень $3$ .

$f'' (- 10.49230484) = \frac{- 43.82553829}{3117796.33024341}$

Разделим $- 43.82553829$ на $3117796.33024341$ .

$f'' (- 10.49230484) = - 0.00001405$

Окончательный ответ: $- 0.00001405$ .

$- 0.00001405$

При $- 10.49230484$ вторая производная имеет вид $- 1.40565751 E - 5$ . Поскольку это отрицательная величина, вторая производная уменьшается на интервале $(- \infty, - 6 \sqrt{3})$ .

Убывание на $(- \infty, - 6 \sqrt{3})$ , так как $f'' (x) < 0$

Step 7

Подставим значение из интервала $(- 6 \sqrt{3}, 0)$ во вторую производную, чтобы определить, возрастает она или убывает.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Заменим в этом выражении переменную $x$ на $- 5.19615242$ .

$f'' (- 5.19615242) = \frac{2 (- 5.19615242) ({(- 5.19615242)}^{2} - 108)}{{({(- 5.19615242)}^{2} + 36)}^{3}}$

Упростим результат.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Умножим $2$ на $- 5.19615242$ .

$f'' (- 5.19615242) = \frac{- 10.39230484 ({(- 5.19615242)}^{2} - 108)}{{({(- 5.19615242)}^{2} + 36)}^{3}}$

Умножим $- 10.39230484$ на ${(- 5.19615242)}^{2} - 108$ .

$f'' (- 5.19615242) = \frac{841.77669247}{{({(- 5.19615242)}^{2} + 36)}^{3}}$

Упростим знаменатель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Возведем $- 5.19615242$ в степень $2$ .

$f'' (- 5.19615242) = \frac{841.77669247}{{(27 + 36)}^{3}}$

Добавим $27$ и $36$ .

$f'' (- 5.19615242) = \frac{841.77669247}{63^{3}}$

Возведем $63$ в степень $3$ .

$f'' (- 5.19615242) = \frac{841.77669247}{250047}$

Разделим $841.77669247$ на $250047$ .

$f'' (- 5.19615242) = 0.00336647$

Окончательный ответ: $0.00336647$ .

$0.00336647$

При $- 5.19615242$ вторая производная имеет вид $0.00336647$ . Поскольку это положительная величина, вторая производная возрастает на интервале $(- 6 \sqrt{3}, 0)$ .

Возрастание в области $(- 6 \sqrt{3}, 0)$ , так как $f'' (x) > 0$

Step 8

Подставим значение из интервала $(0, 6 \sqrt{3})$ во вторую производную, чтобы определить, возрастает она или убывает.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Заменим в этом выражении переменную $x$ на $5.19615242$ .

$f'' (5.19615242) = \frac{2 (5.19615242) ({(5.19615242)}^{2} - 108)}{{({(5.19615242)}^{2} + 36)}^{3}}$

Упростим результат.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Умножим $2$ на $5.19615242$ .

$f'' (5.19615242) = \frac{10.39230484 ({5.19615242}^{2} - 108)}{{({5.19615242}^{2} + 36)}^{3}}$

Умножим $10.39230484$ на ${5.19615242}^{2} - 108$ .

$f'' (5.19615242) = \frac{- 841.77669247}{{({5.19615242}^{2} + 36)}^{3}}$

Упростим знаменатель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Возведем $5.19615242$ в степень $2$ .

$f'' (5.19615242) = \frac{- 841.77669247}{{(27 + 36)}^{3}}$

Добавим $27$ и $36$ .

$f'' (5.19615242) = \frac{- 841.77669247}{63^{3}}$

Возведем $63$ в степень $3$ .

$f'' (5.19615242) = \frac{- 841.77669247}{250047}$

Разделим $- 841.77669247$ на $250047$ .

$f'' (5.19615242) = - 0.00336647$

Окончательный ответ: $- 0.00336647$ .

$- 0.00336647$

При $5.19615242$ вторая производная имеет вид $- 0.00336647$ . Поскольку это отрицательная величина, вторая производная уменьшается на интервале $(0, 6 \sqrt{3})$ .

Убывание на $(0, 6 \sqrt{3})$ , так как $f'' (x) < 0$

Step 9

Подставим значение из интервала $(6 \sqrt{3}, \infty)$ во вторую производную, чтобы определить, возрастает она или убывает.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Заменим в этом выражении переменную $x$ на $10.49230484$ .

$f'' (10.49230484) = \frac{2 (10.49230484) ({(10.49230484)}^{2} - 108)}{{({(10.49230484)}^{2} + 36)}^{3}}$

Упростим результат.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Умножим $2$ на $10.49230484$ .

$f'' (10.49230484) = \frac{20.98460969 ({10.49230484}^{2} - 108)}{{({10.49230484}^{2} + 36)}^{3}}$

Умножим $20.98460969$ на ${10.49230484}^{2} - 108$ .

$f'' (10.49230484) = \frac{43.82553829}{{({10.49230484}^{2} + 36)}^{3}}$

Упростим знаменатель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Возведем $10.49230484$ в степень $2$ .

$f'' (10.49230484) = \frac{43.82553829}{{(110.08846096 + 36)}^{3}}$

Добавим $110.08846096$ и $36$ .

$f'' (10.49230484) = \frac{43.82553829}{{146.08846096}^{3}}$

Возведем $146.08846096$ в степень $3$ .

$f'' (10.49230484) = \frac{43.82553829}{3117796.33024341}$

Разделим $43.82553829$ на $3117796.33024341$ .

$f'' (10.49230484) = 0.00001405$

Окончательный ответ: $0.00001405$ .

$0.00001405$

При $10.49230484$ вторая производная имеет вид $1.40565751 E - 5$ . Поскольку это положительная величина, вторая производная возрастает на интервале $(6 \sqrt{3}, \infty)$ .

Возрастание в области $(6 \sqrt{3}, \infty)$ , так как $f'' (x) > 0$

Step 10

An inflection point is a point on a curve at which the concavity changes sign from plus to minus or from minus to plus. The inflection points in this case are $(- 6 \sqrt{3}, - \frac{\sqrt{3}}{24}), (0, 0), (6 \sqrt{3}, \frac{\sqrt{3}}{24})$ .

$(- 6 \sqrt{3}, - \frac{\sqrt{3}}{24}), (0, 0), (6 \sqrt{3}, \frac{\sqrt{3}}{24})$

Step 11