Алгебра Примеры

$f (x) = x^{3} + 11 x^{2} + 23 x - 35$

Step 1

Если у многочленной функции целые коэффициенты, то каждый рациональный ноль будет иметь вид $\frac{p}{q}$ , где $p$ — делитель константы, а $q$ — делитель старшего коэффициента.

$p = \pm 1, \pm 5, \pm 7, \pm 35$

$q = \pm 1$

Step 2

Найдем все комбинации $\pm \frac{p}{q}$ . Это ― возможные корни многочлена.

$\pm 1, \pm 5, \pm 7, \pm 35$

Step 3

Подставим возможные корни поочередно в многочлен, чтобы найти фактические корни. Упростим и убедимся, что это значение равно $0$ , значит, это корень.

${(1)}^{3} + 11 {(1)}^{2} + 23 (1) - 35$

Step 4

Упростим выражение. В этом случае выражение равно $0$ , поэтому $x = 1$ является корнем многочлена.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Единица в любой степени равна единице.

$1 + 11 {(1)}^{2} + 23 (1) - 35$

Единица в любой степени равна единице.

$1 + 11 \cdot 1 + 23 (1) - 35$

Умножим $11$ на $1$ .

$1 + 11 + 23 (1) - 35$

Умножим $23$ на $1$ .

$1 + 11 + 23 - 35$

Упростим путем сложения и вычитания.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Добавим $1$ и $11$ .

$12 + 23 - 35$

Добавим $12$ и $23$ .

$35 - 35$

Вычтем $35$ из $35$ .

$0$

Step 5

Поскольку $1$ — известный корень, разделим многочлен на $x - 1$ , чтобы найти частное многочленов. Этот многочлен можно будет использовать, чтобы найти оставшиеся корни.

$\frac{x^{3} + 11 x^{2} + 23 x - 35}{x - 1}$

Step 6

Затем найдем корни оставшегося многочлена. Порядок многочлена был уменьшен на $1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Поместим числа, представляющие делитель и делимое, в конфигурацию для деления.

$1$	$1$	$11$	$23$	$- 35$

Первое число в делимом $(1)$ помещается в первую позицию области результата (ниже горизонтальной линии).

$1$	$1$	$11$	$23$	$- 35$

	$1$

Умножим последний элемент в области результата $(1)$ на делитель $(1)$ и запишем их произведение $(1)$ под следующим членом делимого $(11)$ .

$1$	$1$	$11$	$23$	$- 35$
		$1$
	$1$

Сложим результат умножения и делимое число и поместим результат в следующую позицию в строке результатов.

$1$	$1$	$11$	$23$	$- 35$
		$1$
	$1$	$12$

Умножим последний элемент в области результата $(12)$ на делитель $(1)$ и запишем их произведение $(12)$ под следующим членом делимого $(23)$ .

$1$	$1$	$11$	$23$	$- 35$
		$1$	$12$
	$1$	$12$

Сложим результат умножения и делимое число и поместим результат в следующую позицию в строке результатов.

$1$	$1$	$11$	$23$	$- 35$
		$1$	$12$
	$1$	$12$	$35$

Умножим последний элемент в области результата $(35)$ на делитель $(1)$ и запишем их произведение $(35)$ под следующим членом делимого $(- 35)$ .

$1$	$1$	$11$	$23$	$- 35$
		$1$	$12$	$35$
	$1$	$12$	$35$

Сложим результат умножения и делимое число и поместим результат в следующую позицию в строке результатов.

$1$	$1$	$11$	$23$	$- 35$
		$1$	$12$	$35$
	$1$	$12$	$35$	$0$

Все числа, кроме последнего, становятся коэффициентами фактор-многочлена. Последнее значение в строке результатов — это остаток.

$1 x^{2} + 12 x + 35$

Упростим частное многочленов.

$x^{2} + 12 x + 35$

Step 7

Разложим $x^{2} + 12 x + 35$ на множители, используя метод группировки.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Рассмотрим форму $x^{2} + b x + c$ . Найдем пару целых чисел, произведение которых равно $c$ , а сумма — $b$ . В данном случае произведение чисел равно $35$ , а сумма — $12$ .

$5, 7$

Запишем разложение на множители, используя данные целые числа.

$(x - 1) + (x + 5) (x + 7)$

$(x - 1) (x + 5) (x + 7)$

Step 8

Разложим левую часть уравнения на множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Разложим $x^{3} + 11 x^{2} + 23 x - 35$ на множители, используя теорему о рациональных корнях.

Нажмите для увеличения количества этапов...

$p = \pm 1, \pm 35, \pm 5, \pm 7 q = \pm 1$

Найдем все комбинации $\pm \frac{p}{q}$ . Это ― возможные корни многочлена.

$\pm 1, \pm 35, \pm 5, \pm 7$

Подставим $1$ и упростим выражение. В этом случае выражение равно $0$ , поэтому $1$ является корнем многочлена.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Подставим $1$ в многочлен.

$1^{3} + 11 \cdot 1^{2} + 23 \cdot 1 - 35$

Возведем $1$ в степень $3$ .

$1 + 11 \cdot 1^{2} + 23 \cdot 1 - 35$

Возведем $1$ в степень $2$ .

$1 + 11 \cdot 1 + 23 \cdot 1 - 35$

Умножим $11$ на $1$ .

$1 + 11 + 23 \cdot 1 - 35$

Добавим $1$ и $11$ .

$12 + 23 \cdot 1 - 35$

Умножим $23$ на $1$ .

$12 + 23 - 35$

Добавим $12$ и $23$ .

$35 - 35$

Вычтем $35$ из $35$ .

$0$

$\frac{x^{3} + 11 x^{2} + 23 x - 35}{x - 1}$

Разделим $x^{3} + 11 x^{2} + 23 x - 35$ на $x - 1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Подготовим многочлены к делению. Если слагаемые представляют не все экспоненты, добавим отсутствующий член со значением $0$ .

$x$

$1$

$x^{3}$

$11 x^{2}$

$23 x$

$35$

Разделим член с максимальной степенью в делимом $x^{3}$ на член с максимальной степенью в делителе $x$ .

					$x^{2}$
	$x$	-	$1$		$x^{3}$	+	$11 x^{2}$	+	$23 x$	-	$35$

Умножим новое частное на делитель.

				$x^{2}$
$x$	-	$1$		$x^{3}$	+	$11 x^{2}$	+	$23 x$	-	$35$
			+	$x^{3}$	-	$x^{2}$

Выражение необходимо вычесть из делимого, поэтому изменим все знаки в $x^{3} - x^{2}$ .

				$x^{2}$
$x$	-	$1$		$x^{3}$	+	$11 x^{2}$	+	$23 x$	-	$35$
			-	$x^{3}$	+	$x^{2}$

После изменения знаков добавим последнее делимое из умноженного многочлена, чтобы найти новое делимое.

				$x^{2}$
$x$	-	$1$		$x^{3}$	+	$11 x^{2}$	+	$23 x$	-	$35$
			-	$x^{3}$	+	$x^{2}$
					+	$12 x^{2}$

Вынесем следующие члены из исходного делимого в текущее делимое.

				$x^{2}$
$x$	-	$1$		$x^{3}$	+	$11 x^{2}$	+	$23 x$	-	$35$
			-	$x^{3}$	+	$x^{2}$
					+	$12 x^{2}$	+	$23 x$

Разделим член с максимальной степенью в делимом $12 x^{2}$ на член с максимальной степенью в делителе $x$ .

				$x^{2}$	+	$12 x$
$x$	-	$1$		$x^{3}$	+	$11 x^{2}$	+	$23 x$	-	$35$
			-	$x^{3}$	+	$x^{2}$
					+	$12 x^{2}$	+	$23 x$

Умножим новое частное на делитель.

				$x^{2}$	+	$12 x$
$x$	-	$1$		$x^{3}$	+	$11 x^{2}$	+	$23 x$	-	$35$
			-	$x^{3}$	+	$x^{2}$
					+	$12 x^{2}$	+	$23 x$
					+	$12 x^{2}$	-	$12 x$

Выражение необходимо вычесть из делимого, поэтому изменим все знаки в $12 x^{2} - 12 x$ .

				$x^{2}$	+	$12 x$
$x$	-	$1$		$x^{3}$	+	$11 x^{2}$	+	$23 x$	-	$35$
			-	$x^{3}$	+	$x^{2}$
					+	$12 x^{2}$	+	$23 x$
					-	$12 x^{2}$	+	$12 x$

После изменения знаков добавим последнее делимое из умноженного многочлена, чтобы найти новое делимое.

				$x^{2}$	+	$12 x$
$x$	-	$1$		$x^{3}$	+	$11 x^{2}$	+	$23 x$	-	$35$
			-	$x^{3}$	+	$x^{2}$
					+	$12 x^{2}$	+	$23 x$
					-	$12 x^{2}$	+	$12 x$
							+	$35 x$

Вынесем следующие члены из исходного делимого в текущее делимое.

				$x^{2}$	+	$12 x$
$x$	-	$1$		$x^{3}$	+	$11 x^{2}$	+	$23 x$	-	$35$
			-	$x^{3}$	+	$x^{2}$
					+	$12 x^{2}$	+	$23 x$
					-	$12 x^{2}$	+	$12 x$
							+	$35 x$	-	$35$

Разделим член с максимальной степенью в делимом $35 x$ на член с максимальной степенью в делителе $x$ .

				$x^{2}$	+	$12 x$	+	$35$
$x$	-	$1$		$x^{3}$	+	$11 x^{2}$	+	$23 x$	-	$35$
			-	$x^{3}$	+	$x^{2}$
					+	$12 x^{2}$	+	$23 x$
					-	$12 x^{2}$	+	$12 x$
							+	$35 x$	-	$35$

Умножим новое частное на делитель.

				$x^{2}$	+	$12 x$	+	$35$
$x$	-	$1$		$x^{3}$	+	$11 x^{2}$	+	$23 x$	-	$35$
			-	$x^{3}$	+	$x^{2}$
					+	$12 x^{2}$	+	$23 x$
					-	$12 x^{2}$	+	$12 x$
							+	$35 x$	-	$35$
							+	$35 x$	-	$35$

Выражение необходимо вычесть из делимого, поэтому изменим все знаки в $35 x - 35$ .

				$x^{2}$	+	$12 x$	+	$35$
$x$	-	$1$		$x^{3}$	+	$11 x^{2}$	+	$23 x$	-	$35$
			-	$x^{3}$	+	$x^{2}$
					+	$12 x^{2}$	+	$23 x$
					-	$12 x^{2}$	+	$12 x$
							+	$35 x$	-	$35$
							-	$35 x$	+	$35$

После изменения знаков добавим последнее делимое из умноженного многочлена, чтобы найти новое делимое.

				$x^{2}$	+	$12 x$	+	$35$
$x$	-	$1$		$x^{3}$	+	$11 x^{2}$	+	$23 x$	-	$35$
			-	$x^{3}$	+	$x^{2}$
					+	$12 x^{2}$	+	$23 x$
					-	$12 x^{2}$	+	$12 x$
							+	$35 x$	-	$35$
							-	$35 x$	+	$35$
										$0$

Поскольку остаток равен $0$ , окончательным ответом является частное.

$x^{2} + 12 x + 35$

Запишем $x^{3} + 11 x^{2} + 23 x - 35$ в виде набора множителей.

$(x - 1) (x^{2} + 12 x + 35) = 0$

Разложим $x^{2} + 12 x + 35$ на множители, используя метод группировки.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Разложим $x^{2} + 12 x + 35$ на множители, используя метод группировки.

Нажмите для увеличения количества этапов...

$5, 7$

Запишем разложение на множители, используя данные целые числа.

$(x - 1) ((x + 5) (x + 7)) = 0$

Избавимся от ненужных скобок.

$(x - 1) (x + 5) (x + 7) = 0$

Step 9

Если любой отдельный множитель в левой части уравнения равен $0$ , все выражение равно $0$ .

$x - 1 = 0$

$x + 5 = 0$

$x + 7 = 0$

Step 10

Приравняем $x - 1$ к $0$ , затем решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Приравняем $x - 1$ к $0$ .

$x - 1 = 0$

Добавим $1$ к обеим частям уравнения.

$x = 1$

Step 11

Приравняем $x + 5$ к $0$ , затем решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Приравняем $x + 5$ к $0$ .

$x + 5 = 0$

Вычтем $5$ из обеих частей уравнения.

$x = - 5$

Step 12

Приравняем $x + 7$ к $0$ , затем решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Приравняем $x + 7$ к $0$ .

$x + 7 = 0$

Вычтем $7$ из обеих частей уравнения.

$x = - 7$

Step 13

Окончательным решением являются все значения, при которых $(x - 1) (x + 5) (x + 7) = 0$ верно.

$x = 1, - 5, - 7$

Step 14