Алгебра Примеры

$\frac{8}{x^{2} - 4}$

Step 1

Разложим дробь и умножим на общий знаменатель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Разложим дробь на множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Перепишем $4$ в виде $2^{2}$ .

$\frac{8}{x^{2} - 2^{2}}$

Поскольку оба члена являются полными квадратами, выполним разложение на множители, используя формулу разности квадратов, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ , где $a = x$ и $b = 2$ .

$\frac{8}{(x + 2) (x - 2)}$

Для каждого множителя в знаменателе создадим новую дробь, используя множитель в качестве знаменателя, а неизвестное значение — в качестве числителя. Поскольку множитель в знаменателе линейный, поместим одну переменную на его место $A$ .

$\frac{A}{x + 2}$

$\frac{A}{x + 2} + \frac{B}{x - 2}$

Умножим каждую дробь в уравнении на знаменатель исходного выражения. В этом случае знаменатель равен $(x + 2) (x - 2)$ .

$\frac{8 (x + 2) (x - 2)}{(x + 2) (x - 2)} = \frac{(A) (x + 2) (x - 2)}{x + 2} + \frac{(B) (x + 2) (x - 2)}{x - 2}$

Сократим общий множитель $x + 2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Сократим общий множитель.

$\frac{8 (x + 2) (x - 2)}{(x + 2) (x - 2)} = \frac{(A) (x + 2) (x - 2)}{x + 2} + \frac{(B) (x + 2) (x - 2)}{x - 2}$

Перепишем это выражение.

$\frac{8 (x - 2)}{x - 2} = \frac{(A) (x + 2) (x - 2)}{x + 2} + \frac{(B) (x + 2) (x - 2)}{x - 2}$

Сократим общий множитель $x - 2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Сократим общий множитель.

$\frac{8 (x - 2)}{x - 2} = \frac{(A) (x + 2) (x - 2)}{x + 2} + \frac{(B) (x + 2) (x - 2)}{x - 2}$

Разделим $8$ на $1$ .

$8 = \frac{(A) (x + 2) (x - 2)}{x + 2} + \frac{(B) (x + 2) (x - 2)}{x - 2}$

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Сократим общий множитель $x + 2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Сократим общий множитель.

$8 = \frac{A (x + 2) (x - 2)}{x + 2} + \frac{(B) (x + 2) (x - 2)}{x - 2}$

Разделим $(A) (x - 2)$ на $1$ .

$8 = (A) (x - 2) + \frac{(B) (x + 2) (x - 2)}{x - 2}$

Применим свойство дистрибутивности.

$8 = A x + A \cdot - 2 + \frac{(B) (x + 2) (x - 2)}{x - 2}$

Перенесем $- 2$ влево от $A$ .

$8 = A x - 2 \cdot A + \frac{(B) (x + 2) (x - 2)}{x - 2}$

Сократим общий множитель $x - 2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Сократим общий множитель.

$8 = A x - 2 A + \frac{(B) (x + 2) (x - 2)}{x - 2}$

Разделим $(B) (x + 2)$ на $1$ .

$8 = A x - 2 A + (B) (x + 2)$

Применим свойство дистрибутивности.

$8 = A x - 2 A + B x + B \cdot 2$

Перенесем $2$ влево от $B$ .

$8 = A x - 2 A + B x + 2 B$

Перенесем $- 2 A$ .

$8 = A x + B x - 2 A + 2 B$

Step 2

Составим уравнения для переменных элементарной дроби и используем их для создания системы уравнений.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Составим уравнение для переменных элементарной дроби, приравняв коэффициенты $x$ из каждой части уравнения. Чтобы уравнение было верным, эквивалентные коэффициенты в каждой части уравнения должны быть равны.

$0 = A + B$

Составим уравнение для переменных элементарной дроби, приравняв коэффициенты членов, не содержащих $x$ . Чтобы уравнение было верным, эквивалентные коэффициенты в каждой части уравнения должны быть равны.

$8 = - 2 A + 2 B$

Составим систему уравнений, чтобы найти коэффициенты элементарных дробей.

$0 = A + B$

$8 = - 2 A + 2 B$

$0 = A + B$

$8 = - 2 A + 2 B$

Step 3

Решим систему уравнений.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Решим относительно $A$ в $0 = A + B$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Перепишем уравнение в виде $A + B = 0$ .

$A + B = 0$

$8 = - 2 A + 2 B$

Вычтем $B$ из обеих частей уравнения.

$A = - B$

$8 = - 2 A + 2 B$

$A = - B$

$8 = - 2 A + 2 B$

Заменим все вхождения $A$ на $- B$ во всех уравнениях.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Заменим все вхождения $A$ в $8 = - 2 A + 2 B$ на $- B$ .

$8 = - 2 (- B) + 2 B$

$A = - B$

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Упростим $- 2 (- B) + 2 B$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Умножим $- 1$ на $- 2$ .

$8 = 2 B + 2 B$

$A = - B$

Добавим $2 B$ и $2 B$ .

$8 = 4 B$

$A = - B$

$8 = 4 B$

$A = - B$

$8 = 4 B$

$A = - B$

$8 = 4 B$

$A = - B$

Решим относительно $B$ в $8 = 4 B$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Перепишем уравнение в виде $4 B = 8$ .

$4 B = 8$

$A = - B$

Разделим каждый член $4 B = 8$ на $4$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Разделим каждый член $4 B = 8$ на $4$ .

$\frac{4 B}{4} = \frac{8}{4}$

$A = - B$

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Сократим общий множитель $4$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Сократим общий множитель.

$\frac{4 B}{4} = \frac{8}{4}$

$A = - B$

Разделим $B$ на $1$ .

$B = \frac{8}{4}$

$A = - B$

$B = \frac{8}{4}$

$A = - B$

$B = \frac{8}{4}$

$A = - B$

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Разделим $8$ на $4$ .

$B = 2$

$A = - B$

$B = 2$

$A = - B$

$B = 2$

$A = - B$

$B = 2$

$A = - B$

Заменим все вхождения $B$ на $2$ во всех уравнениях.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Заменим все вхождения $B$ в $A = - B$ на $2$ .

$A = - (2)$

$B = 2$

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Умножим $- 1$ на $2$ .

$A = - 2$

$B = 2$

$A = - 2$

$B = 2$

$A = - 2$

$B = 2$

Перечислим все решения.

$A = - 2, B = 2$

Step 4

Заменим каждый коэффициент элементарной дроби в $\frac{A}{x + 2} + \frac{B}{x - 2}$ значениями, найденными для $A$ и $B$ .

$\frac{- 2}{x + 2} + \frac{2}{x - 2}$