Алгебра Примеры

$[\begin{array}{c} 1 & - 1 & - 1 \\ 0 & - 2 & - 1 \\ - 2 & - 3 & 0 \end{array}]$

Step 1

Запишем матрицу, которая разделена на две части одинакового размера. Левую часть заполним элементами исходной матрицы. Правую часть заполним элементами единичной матрицы. Чтобы найти обратную матрицу, используя операции со строками, преобразуем левую часть в единичную матрицу. После окончания этого процесса матрица, обратная исходной, окажется в правой части двойной матрицы.

$[\begin{array}{c} 1 & - 1 & - 1 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & - 2 & - 1 & 0 & 1 & 0 \\ - 2 & - 3 & 0 & 0 & 0 & 1 \end{array}]$

Step 2

Поменяем местами строки $3$ и $2$ , чтобы установить нули в нужное положение.

$[\begin{array}{c} 1 & - 1 & - 1 & 1 & 0 & 0 \\ - 2 & - 3 & 0 & 0 & 0 & 1 \\ 0 & - 2 & - 1 & 0 & 1 & 0 \end{array}]$

$R_{3} \leftrightarrow R$

Step 3

Выполним операцию со строкой $R_{2} = 2 \cdot R_{1} + R_{2}$ над $R_{2}$ (строка $2$ ), чтобы преобразовать некоторые элементы строки в $0$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Заменим $R_{2}$ (строка $2$ ) операцией над строками $R_{2} = 2 \cdot R_{1} + R_{2}$ , чтобы преобразовать некоторые элементы строки для получения желаемого значения $0$ .

$[\begin{array}{c} 1 & - 1 & - 1 & 1 & 0 & 0 \\ 2 \cdot R_{1} + R_{2} & 2 \cdot R_{1} + R_{2} & 2 \cdot R_{1} + R_{2} & 2 \cdot R_{1} + R_{2} & 2 \cdot R_{1} + R_{2} & 2 \cdot R_{1} + R_{2} \\ 0 & - 2 & - 1 & 0 & 1 & 0 \end{array}]$

$R_{2} = 2 \cdot R_{1} + R_{2}$

Заменим $R_{2}$ (строка $2$ ) фактическими значениями элементов для операции над строками $R_{2} = 2 \cdot R_{1} + R_{2}$ .

$[\begin{array}{c} 1 & - 1 & - 1 & 1 & 0 & 0 \\ (2) \cdot (1) - 2 & (2) \cdot (- 1) - 3 & (2) \cdot (- 1) + 0 & (2) \cdot (1) + 0 & (2) \cdot (0) + 0 & (2) \cdot (0) + 1 \\ 0 & - 2 & - 1 & 0 & 1 & 0 \end{array}]$

$R_{2} = 2 \cdot R_{1} + R_{2}$

Упростим $R_{2}$ (строка $2$ ).

$[\begin{array}{c} 1 & - 1 & - 1 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & - 5 & - 2 & 2 & 0 & 1 \\ 0 & - 2 & - 1 & 0 & 1 & 0 \end{array}]$

Step 4

Выполним операцию со строкой $R_{2} = - \frac{1}{5} R_{2}$ над $R_{2}$ (строка $2$ ), чтобы преобразовать некоторые элементы строки в $1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Заменим $R_{2}$ (строка $2$ ) операцией над строками $R_{2} = - \frac{1}{5} R_{2}$ , чтобы преобразовать некоторые элементы строки для получения желаемого значения $1$ .

$[\begin{array}{c} 1 & - 1 & - 1 & 1 & 0 & 0 \\ - \frac{1}{5} R_{2} & - \frac{1}{5} R_{2} & - \frac{1}{5} R_{2} & - \frac{1}{5} R_{2} & - \frac{1}{5} R_{2} & - \frac{1}{5} R_{2} \\ 0 & - 2 & - 1 & 0 & 1 & 0 \end{array}]$

$R_{2} = - \frac{1}{5} R_{2}$

Заменим $R_{2}$ (строка $2$ ) фактическими значениями элементов для операции над строками $R_{2} = - \frac{1}{5} R_{2}$ .

$[\begin{array}{c} 1 & - 1 & - 1 & 1 & 0 & 0 \\ (- \frac{1}{5}) \cdot (0) & (- \frac{1}{5}) \cdot (- 5) & (- \frac{1}{5}) \cdot (- 2) & (- \frac{1}{5}) \cdot (2) & (- \frac{1}{5}) \cdot (0) & (- \frac{1}{5}) \cdot (1) \\ 0 & - 2 & - 1 & 0 & 1 & 0 \end{array}]$

$R_{2} = - \frac{1}{5} R_{2}$

Упростим $R_{2}$ (строка $2$ ).

$[\begin{array}{c} 1 & - 1 & - 1 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & \frac{2}{5} & - \frac{2}{5} & 0 & - \frac{1}{5} \\ 0 & - 2 & - 1 & 0 & 1 & 0 \end{array}]$

Step 5

Выполним операцию со строкой $R_{1} = R_{2} + R_{1}$ над $R_{1}$ (строка $1$ ), чтобы преобразовать некоторые элементы строки в $0$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Заменим $R_{1}$ (строка $1$ ) операцией над строками $R_{1} = R_{2} + R_{1}$ , чтобы преобразовать некоторые элементы строки для получения желаемого значения $0$ .

$[\begin{array}{c} R_{2} + R_{1} & R_{2} + R_{1} & R_{2} + R_{1} & R_{2} + R_{1} & R_{2} + R_{1} & R_{2} + R_{1} \\ 0 & 1 & \frac{2}{5} & - \frac{2}{5} & 0 & - \frac{1}{5} \\ 0 & - 2 & - 1 & 0 & 1 & 0 \end{array}]$

$R_{1} = R_{2} + R_{1}$

Заменим $R_{1}$ (строка $1$ ) фактическими значениями элементов для операции над строками $R_{1} = R_{2} + R_{1}$ .

$[\begin{array}{c} 0 + 1 & 1 - 1 & \frac{2}{5} - 1 & - \frac{2}{5} + 1 & 0 + 0 & - \frac{1}{5} + 0 \\ 0 & 1 & \frac{2}{5} & - \frac{2}{5} & 0 & - \frac{1}{5} \\ 0 & - 2 & - 1 & 0 & 1 & 0 \end{array}]$

$R_{1} = R_{2} + R_{1}$

Упростим $R_{1}$ (строка $1$ ).

$[\begin{array}{c} 1 & 0 & - \frac{3}{5} & \frac{3}{5} & 0 & - \frac{1}{5} \\ 0 & 1 & \frac{2}{5} & - \frac{2}{5} & 0 & - \frac{1}{5} \\ 0 & - 2 & - 1 & 0 & 1 & 0 \end{array}]$

Step 6

Выполним операцию со строкой $R_{3} = 2 \cdot R_{2} + R_{3}$ над $R_{3}$ (строка $3$ ), чтобы преобразовать некоторые элементы строки в $0$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Заменим $R_{3}$ (строка $3$ ) операцией над строками $R_{3} = 2 \cdot R_{2} + R_{3}$ , чтобы преобразовать некоторые элементы строки для получения желаемого значения $0$ .

$[\begin{array}{c} 1 & 0 & - \frac{3}{5} & \frac{3}{5} & 0 & - \frac{1}{5} \\ 0 & 1 & \frac{2}{5} & - \frac{2}{5} & 0 & - \frac{1}{5} \\ 2 \cdot R_{2} + R_{3} & 2 \cdot R_{2} + R_{3} & 2 \cdot R_{2} + R_{3} & 2 \cdot R_{2} + R_{3} & 2 \cdot R_{2} + R_{3} & 2 \cdot R_{2} + R_{3} \end{array}]$

$R_{3} = 2 \cdot R_{2} + R_{3}$

Заменим $R_{3}$ (строка $3$ ) фактическими значениями элементов для операции над строками $R_{3} = 2 \cdot R_{2} + R_{3}$ .

$[\begin{array}{c} 1 & 0 & - \frac{3}{5} & \frac{3}{5} & 0 & - \frac{1}{5} \\ 0 & 1 & \frac{2}{5} & - \frac{2}{5} & 0 & - \frac{1}{5} \\ (2) \cdot (0) + 0 & (2) \cdot (1) - 2 & (2) \cdot (\frac{2}{5}) - 1 & (2) \cdot (- \frac{2}{5}) + 0 & (2) \cdot (0) + 1 & (2) \cdot (- \frac{1}{5}) + 0 \end{array}]$

$R_{3} = 2 \cdot R_{2} + R_{3}$

Упростим $R_{3}$ (строка $3$ ).

$[\begin{array}{c} 1 & 0 & - \frac{3}{5} & \frac{3}{5} & 0 & - \frac{1}{5} \\ 0 & 1 & \frac{2}{5} & - \frac{2}{5} & 0 & - \frac{1}{5} \\ 0 & 0 & - \frac{1}{5} & - \frac{4}{5} & 1 & - \frac{2}{5} \end{array}]$

Step 7

Выполним операцию со строкой $R_{3} = - 5 \cdot R_{3}$ над $R_{3}$ (строка $3$ ), чтобы преобразовать некоторые элементы строки в $1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Заменим $R_{3}$ (строка $3$ ) операцией над строками $R_{3} = - 5 \cdot R_{3}$ , чтобы преобразовать некоторые элементы строки для получения желаемого значения $1$ .

$[\begin{array}{c} 1 & 0 & - \frac{3}{5} & \frac{3}{5} & 0 & - \frac{1}{5} \\ 0 & 1 & \frac{2}{5} & - \frac{2}{5} & 0 & - \frac{1}{5} \\ - 5 \cdot R_{3} & - 5 \cdot R_{3} & - 5 \cdot R_{3} & - 5 \cdot R_{3} & - 5 \cdot R_{3} & - 5 \cdot R_{3} \end{array}]$

$R_{3} = - 5 \cdot R_{3}$

Заменим $R_{3}$ (строка $3$ ) фактическими значениями элементов для операции над строками $R_{3} = - 5 \cdot R_{3}$ .

$[\begin{array}{c} 1 & 0 & - \frac{3}{5} & \frac{3}{5} & 0 & - \frac{1}{5} \\ 0 & 1 & \frac{2}{5} & - \frac{2}{5} & 0 & - \frac{1}{5} \\ (- 5) \cdot (0) & (- 5) \cdot (0) & (- 5) \cdot (- \frac{1}{5}) & (- 5) \cdot (- \frac{4}{5}) & (- 5) \cdot (1) & (- 5) \cdot (- \frac{2}{5}) \end{array}]$

$R_{3} = - 5 \cdot R_{3}$

Упростим $R_{3}$ (строка $3$ ).

$[\begin{array}{c} 1 & 0 & - \frac{3}{5} & \frac{3}{5} & 0 & - \frac{1}{5} \\ 0 & 1 & \frac{2}{5} & - \frac{2}{5} & 0 & - \frac{1}{5} \\ 0 & 0 & 1 & 4 & - 5 & 2 \end{array}]$

Step 8

Выполним операцию со строкой $R_{1} = \frac{3}{5} R_{3} + R_{1}$ над $R_{1}$ (строка $1$ ), чтобы преобразовать некоторые элементы строки в $0$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Заменим $R_{1}$ (строка $1$ ) операцией над строками $R_{1} = \frac{3}{5} R_{3} + R_{1}$ , чтобы преобразовать некоторые элементы строки для получения желаемого значения $0$ .

$[\begin{array}{c} \frac{3}{5} R_{3} + R_{1} & \frac{3}{5} R_{3} + R_{1} & \frac{3}{5} R_{3} + R_{1} & \frac{3}{5} R_{3} + R_{1} & \frac{3}{5} R_{3} + R_{1} & \frac{3}{5} R_{3} + R_{1} \\ 0 & 1 & \frac{2}{5} & - \frac{2}{5} & 0 & - \frac{1}{5} \\ 0 & 0 & 1 & 4 & - 5 & 2 \end{array}]$

$R_{1} = \frac{3}{5} R_{3} + R_{1}$

Заменим $R_{1}$ (строка $1$ ) фактическими значениями элементов для операции над строками $R_{1} = \frac{3}{5} R_{3} + R_{1}$ .

$[\begin{array}{c} (\frac{3}{5}) \cdot (0) + 1 & (\frac{3}{5}) \cdot (0) + 0 & (\frac{3}{5}) \cdot (1) - \frac{3}{5} & (\frac{3}{5}) \cdot (4) + \frac{3}{5} & (\frac{3}{5}) \cdot (- 5) + 0 & (\frac{3}{5}) \cdot (2) - \frac{1}{5} \\ 0 & 1 & \frac{2}{5} & - \frac{2}{5} & 0 & - \frac{1}{5} \\ 0 & 0 & 1 & 4 & - 5 & 2 \end{array}]$

$R_{1} = \frac{3}{5} R_{3} + R_{1}$

Упростим $R_{1}$ (строка $1$ ).

$[\begin{array}{c} 1 & 0 & 0 & 3 & - 3 & 1 \\ 0 & 1 & \frac{2}{5} & - \frac{2}{5} & 0 & - \frac{1}{5} \\ 0 & 0 & 1 & 4 & - 5 & 2 \end{array}]$

Step 9

Выполним операцию со строкой $R_{2} = - \frac{2}{5} R_{3} + R_{2}$ над $R_{2}$ (строка $2$ ), чтобы преобразовать некоторые элементы строки в $0$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Заменим $R_{2}$ (строка $2$ ) операцией над строками $R_{2} = - \frac{2}{5} R_{3} + R_{2}$ , чтобы преобразовать некоторые элементы строки для получения желаемого значения $0$ .

$[\begin{array}{c} 1 & 0 & 0 & 3 & - 3 & 1 \\ - \frac{2}{5} R_{3} + R_{2} & - \frac{2}{5} R_{3} + R_{2} & - \frac{2}{5} R_{3} + R_{2} & - \frac{2}{5} R_{3} + R_{2} & - \frac{2}{5} R_{3} + R_{2} & - \frac{2}{5} R_{3} + R_{2} \\ 0 & 0 & 1 & 4 & - 5 & 2 \end{array}]$

$R_{2} = - \frac{2}{5} R_{3} + R_{2}$

Заменим $R_{2}$ (строка $2$ ) фактическими значениями элементов для операции над строками $R_{2} = - \frac{2}{5} R_{3} + R_{2}$ .

$[\begin{array}{c} 1 & 0 & 0 & 3 & - 3 & 1 \\ (- \frac{2}{5}) \cdot (0) + 0 & (- \frac{2}{5}) \cdot (0) + 1 & (- \frac{2}{5}) \cdot (1) + \frac{2}{5} & (- \frac{2}{5}) \cdot (4) - \frac{2}{5} & (- \frac{2}{5}) \cdot (- 5) + 0 & (- \frac{2}{5}) \cdot (2) - \frac{1}{5} \\ 0 & 0 & 1 & 4 & - 5 & 2 \end{array}]$

$R_{2} = - \frac{2}{5} R_{3} + R_{2}$

Упростим $R_{2}$ (строка $2$ ).

$[\begin{array}{c} 1 & 0 & 0 & 3 & - 3 & 1 \\ 0 & 1 & 0 & - 2 & 2 & - 1 \\ 0 & 0 & 1 & 4 & - 5 & 2 \end{array}]$

Step 10

Правая часть двойной матрицы теперь является обратной к исходной матрице.

$[\begin{array}{c} 3 & - 3 & 1 \\ - 2 & 2 & - 1 \\ 4 & - 5 & 2 \end{array}]$