Алгебра Примеры

$f (x) = x^{2}$

Step 1

Найдем свойства заданной параболы.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Перепишем уравнение в форме с выделенной вершиной.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Составим полный квадрат для $x^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Применим форму $a x^{2} + b x + c$ , чтобы найти значения $a$ , $b$ и $c$ .

$a = 1$

$b = 0$

$c = 0$

Рассмотрим параболу в форме с выделенной вершиной.

$a {(x + d)}^{2} + e$

Найдем значение $d$ по формуле $d = \frac{b}{2 a}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Подставим значения $a$ и $b$ в формулу $d = \frac{b}{2 a}$ .

$d = \frac{0}{2 \cdot 1}$

Сократим общий множитель $0$ и $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Вынесем множитель $2$ из $0$ .

$d = \frac{2 (0)}{2 \cdot 1}$

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Вынесем множитель $2$ из $2 \cdot 1$ .

$d = \frac{2 (0)}{2 (1)}$

Сократим общий множитель.

$d = \frac{2 \cdot 0}{2 \cdot 1}$

Перепишем это выражение.

$d = \frac{0}{1}$

Разделим $0$ на $1$ .

$d = 0$

Найдем значение $e$ по формуле $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Подставим значения $c$ , $b$ и $a$ в формулу $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ .

$e = 0 - \frac{0^{2}}{4 \cdot 1}$

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Возведение $0$ в любую положительную степень дает $0$ .

$e = 0 - \frac{0}{4 \cdot 1}$

Умножим $4$ на $1$ .

$e = 0 - \frac{0}{4}$

Разделим $0$ на $4$ .

$e = 0 - 0$

Умножим $- 1$ на $0$ .

$e = 0 + 0$

Добавим $0$ и $0$ .

$e = 0$

Подставим значения $a$ , $d$ и $e$ в уравнение с заданной вершиной $x^{2}$ .

$x^{2}$

Приравняем $y$ к новой правой части.

$y = x^{2}$

Воспользуемся формой с выделенной вершиной $y = a {(x - h)}^{2} + k$ , чтобы определить значения $a$ , $h$ и $k$ .

$a = 1$

$h = 0$

$k = 0$

Поскольку $a$ имеет положительное значение, ветви параболы направлены вверх.

вверх

Найдем вершину $(h, k)$ .

$(0, 0)$

Найдем $p$ , расстояние от вершины до фокуса.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Найдем расстояние от вершины до фокуса параболы, используя следующую формулу.

$\frac{1}{4 a}$

Подставим значение $a$ в формулу.

$\frac{1}{4 \cdot 1}$

Сократим общий множитель $1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Сократим общий множитель.

$\frac{1}{4 \cdot 1}$

Перепишем это выражение.

$\frac{1}{4}$

Найдем фокус.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Фокус параболы можно найти, добавив $p$ к координате y $k$ , если ветви параболы направлены вверх или вниз.

$(h, k + p)$

Подставим известные значения $h$ , $p$ и $k$ в формулу и упростим.

$(0, \frac{1}{4})$

Найдем ось симметрии, то есть линию, которая проходит через вершину и фокус.

$x = 0$

Найдем направляющую.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Директриса параболы ― это горизонтальная прямая, которую можно найти вычитанием $p$ из y-координаты вершины $k$ , если ветви параболы направлены вверх или вниз.

$y = k - p$

Подставим известные значения $p$ и $k$ в формулу и упростим.

$y = - \frac{1}{4}$

Используем свойства параболы для анализа и построения ее графика.

Направление ветвей: вверх

Вершина: $(0, 0)$

Фокус: $(0, \frac{1}{4})$

Ось симметрии: $x = 0$

Директриса: $y = - \frac{1}{4}$

Направление ветвей: вверх

Вершина: $(0, 0)$

Фокус: $(0, \frac{1}{4})$

Ось симметрии: $x = 0$

Директриса: $y = - \frac{1}{4}$

Step 2

Выберем несколько значений $x$ и подставим их в уравнение, чтобы найти соответствующие значения $y$ . Значения $x$ следует выбрать вблизи вершины.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Заменим в этом выражении переменную $x$ на $- 1$ .

$f (- 1) = {(- 1)}^{2}$

Упростим результат.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Возведем $- 1$ в степень $2$ .

$f (- 1) = 1$

Окончательный ответ: $1$ .

$1$

Значение $y$ при $x = - 1$ равно $1$ .

$y = 1$

Заменим в этом выражении переменную $x$ на $- 2$ .

$f (- 2) = {(- 2)}^{2}$

Упростим результат.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Возведем $- 2$ в степень $2$ .

$f (- 2) = 4$

Окончательный ответ: $4$ .

$4$

Значение $y$ при $x = - 2$ равно $4$ .

$y = 4$

Заменим в этом выражении переменную $x$ на $1$ .

$f (1) = {(1)}^{2}$

Упростим результат.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Единица в любой степени равна единице.

$f (1) = 1$

Окончательный ответ: $1$ .

$1$

Значение $y$ при $x = 1$ равно $1$ .

$y = 1$

Заменим в этом выражении переменную $x$ на $2$ .

$f (2) = {(2)}^{2}$

Упростим результат.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Возведем $2$ в степень $2$ .

$f (2) = 4$

Окончательный ответ: $4$ .

$4$

Значение $y$ при $x = 2$ равно $4$ .

$y = 4$

Построим график параболы, используя ее свойства и выбранные точки.

$\begin{array}{c} x & y \\ - 2 & 4 \\ - 1 & 1 \\ 0 & 0 \\ 1 & 1 \\ 2 & 4 \end{array}$

Step 3

Построим график параболы, используя ее свойства и выбранные точки.

Направление ветвей: вверх

Вершина: $(0, 0)$

Фокус: $(0, \frac{1}{4})$

Ось симметрии: $x = 0$

Директриса: $y = - \frac{1}{4}$

$\begin{array}{c} x & y \\ - 2 & 4 \\ - 1 & 1 \\ 0 & 0 \\ 1 & 1 \\ 2 & 4 \end{array}$

Step 4