Алгебра Примеры

$y = \frac{1}{\sqrt{x^{2} - 4}}$

Step 1

Зададим подкоренное выражение в $\sqrt{x^{2} - 4}$ большим или равным $0$ , чтобы узнать, где определено данное выражение.

$x^{2} - 4 \geq 0$

Step 2

Решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Добавим $4$ к обеим частям неравенства.

$x^{2} \geq 4$

Take the specified root of both sides of the inequality to eliminate the exponent on the left side.

$\sqrt{x^{2}} \geq \sqrt{4}$

Упростим уравнение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Вынесем члены из-под знака корня.

$| x | \geq \sqrt{4}$

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Упростим $\sqrt{4}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Перепишем $4$ в виде $2^{2}$ .

$| x | \geq \sqrt{2^{2}}$

Вынесем члены из-под знака корня.

$| x | \geq | 2 |$

Абсолютное значение ― это расстояние между числом и нулем. Расстояние между $0$ и $2$ равно $2$ .

$| x | \geq 2$

Запишем $| x | \geq 2$ в виде кусочной функции.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Чтобы определить интервал для первого куска, найдем, на каком участке абсолютное значение неотрицательно.

$x \geq 0$

В части, где $x$ принимает неотрицательные значения, исключим абсолютное значение.

$x \geq 2$

Чтобы определить интервал для второго куска, найдем, на каком участке абсолютное значение отрицательно.

$x < 0$

В части, где $x$ принимает отрицательные значения, исключим абсолютное значение и умножим на $- 1$ .

$- x \geq 2$

Запишем в виде кусочной функции.

${\begin{cases} x \geq 2 & x \geq 0 \\ - x \geq 2 & x < 0 \end{cases}$

Найдем пересечение $x \geq 2$ и $x \geq 0$ .

$x \geq 2$

Разделим каждый член $- x \geq 2$ на $- 1$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Разделим каждый член $- x \geq 2$ на $- 1$ . При умножении или делении обеих частей неравенства на отрицательное значение заменим знак неравенства на противоположный.

$\frac{- x}{- 1} \leq \frac{2}{- 1}$

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Деление двух отрицательных значений дает положительное значение.

$\frac{x}{1} \leq \frac{2}{- 1}$

Разделим $x$ на $1$ .

$x \leq \frac{2}{- 1}$

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Разделим $2$ на $- 1$ .

$x \leq - 2$

Найдем объединение решений.

$x \leq - 2$ или $x \geq 2$

Step 3

Зададим знаменатель в $\frac{1}{\sqrt{x^{2} - 4}}$ равным $0$ , чтобы узнать, где данное выражение не определено.

$\sqrt{x^{2} - 4} = 0$

Step 4

Решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Чтобы избавиться от радикала в левой части уравнения, возведем обе части уравнения в квадрат.

${\sqrt{x^{2} - 4}}^{2} = 0^{2}$

Упростим каждую часть уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

С помощью $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ запишем $\sqrt{x^{2} - 4}$ в виде ${(x^{2} - 4)}^{\frac{1}{2}}$ .

${({(x^{2} - 4)}^{\frac{1}{2}})}^{2} = 0^{2}$

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Упростим ${({(x^{2} - 4)}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Перемножим экспоненты в ${({(x^{2} - 4)}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

${(x^{2} - 4)}^{\frac{1}{2} \cdot 2} = 0^{2}$

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Сократим общий множитель.

${(x^{2} - 4)}^{\frac{1}{2} \cdot 2} = 0^{2}$

Перепишем это выражение.

${(x^{2} - 4)}^{1} = 0^{2}$

Упростим.

$x^{2} - 4 = 0^{2}$

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Возведение $0$ в любую положительную степень дает $0$ .

$x^{2} - 4 = 0$

Решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Добавим $4$ к обеим частям уравнения.

$x^{2} = 4$

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$x = \pm \sqrt{4}$

Упростим $\pm \sqrt{4}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Перепишем $4$ в виде $2^{2}$ .

$x = \pm \sqrt{2^{2}}$

Вынесем члены из-под знака корня, предполагая, что вещественные числа являются положительными.

$x = \pm 2$

Полное решение является результатом как положительных, так и отрицательных частей решения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Сначала с помощью положительного значения $\pm$ найдем первое решение.

$x = 2$

Затем, используя отрицательное значение $\pm$ , найдем второе решение.

$x = - 2$

Полное решение является результатом как положительных, так и отрицательных частей решения.

$x = 2, - 2$

Step 5

Область определения ― это все значения $x$ , при которых выражение определено.

Интервальное представление:

$(- \infty, - 2) \cup (2, \infty)$

Обозначение построения множества:

${x | x < - 2, x > 2}$

Step 6