Алгебра Примеры

$x^{3} + x^{2} - x - 1$

Step 1

Найдем первую производную функции.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Продифференцируем.

Нажмите для увеличения количества этапов...

По правилу суммы производная $x^{3} + x^{2} - x - 1$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- x] + \frac{d}{d x} [- 1]$ .

$\frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- x] + \frac{d}{d x} [- 1]$

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 3$ .

$3 x^{2} + \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- x] + \frac{d}{d x} [- 1]$

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 2$ .

$3 x^{2} + 2 x + \frac{d}{d x} [- x] + \frac{d}{d x} [- 1]$

Найдем значение $\frac{d}{d x} [- x]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Поскольку $- 1$ является константой относительно $x$ , производная $- x$ по $x$ равна $- \frac{d}{d x} [x]$ .

$3 x^{2} + 2 x - \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 1]$

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$3 x^{2} + 2 x - 1 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- 1]$

Умножим $- 1$ на $1$ .

$3 x^{2} + 2 x - 1 + \frac{d}{d x} [- 1]$

Продифференцируем, используя правило константы.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Поскольку $- 1$ является константой относительно $x$ , производная $- 1$ относительно $x$ равна $0$ .

$3 x^{2} + 2 x - 1 + 0$

Добавим $3 x^{2} + 2 x - 1$ и $0$ .

$3 x^{2} + 2 x - 1$

Step 2

Найдем вторую производную функции.

Нажмите для увеличения количества этапов...

По правилу суммы производная $3 x^{2} + 2 x - 1$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [3 x^{2}] + \frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [- 1]$ .

$f'' (x) = \frac{d}{d x} (3 x^{2}) + \frac{d}{d x} (2 x) + \frac{d}{d x} (- 1)$

Найдем значение $\frac{d}{d x} [3 x^{2}]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Поскольку $3$ является константой относительно $x$ , производная $3 x^{2}$ по $x$ равна $3 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$f'' (x) = 3 \frac{d}{d x} (x^{2}) + \frac{d}{d x} (2 x) + \frac{d}{d x} (- 1)$

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 2$ .

$f'' (x) = 3 (2 x) + \frac{d}{d x} (2 x) + \frac{d}{d x} (- 1)$

Умножим $2$ на $3$ .

$f'' (x) = 6 x + \frac{d}{d x} (2 x) + \frac{d}{d x} (- 1)$

Найдем значение $\frac{d}{d x} [2 x]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Поскольку $2$ является константой относительно $x$ , производная $2 x$ по $x$ равна $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$f'' (x) = 6 x + 2 \frac{d}{d x} (x) + \frac{d}{d x} (- 1)$

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$f'' (x) = 6 x + 2 \cdot 1 + \frac{d}{d x} (- 1)$

Умножим $2$ на $1$ .

$f'' (x) = 6 x + 2 + \frac{d}{d x} (- 1)$

Продифференцируем, используя правило константы.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Поскольку $- 1$ является константой относительно $x$ , производная $- 1$ относительно $x$ равна $0$ .

$f'' (x) = 6 x + 2 + 0$

Добавим $6 x + 2$ и $0$ .

$f'' (x) = 6 x + 2$

Step 3

Чтобы найти локальные максимумы и минимумы функции, приравняем производную к $0$ и решим полученное уравнение.

$3 x^{2} + 2 x - 1 = 0$

Step 4

Найдем первую производную.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Найдем первую производную.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Продифференцируем.

Нажмите для увеличения количества этапов...

По правилу суммы производная $x^{3} + x^{2} - x - 1$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- x] + \frac{d}{d x} [- 1]$ .

$f' (x) = \frac{d}{d x} (x^{3}) + \frac{d}{d x} (x^{2}) + \frac{d}{d x} (- x) + \frac{d}{d x} (- 1)$

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 3$ .

$f' (x) = 3 x^{2} + \frac{d}{d x} (x^{2}) + \frac{d}{d x} (- x) + \frac{d}{d x} (- 1)$

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 2$ .

$f' (x) = 3 x^{2} + 2 x + \frac{d}{d x} (- x) + \frac{d}{d x} (- 1)$

Найдем значение $\frac{d}{d x} [- x]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Поскольку $- 1$ является константой относительно $x$ , производная $- x$ по $x$ равна $- \frac{d}{d x} [x]$ .

$f' (x) = 3 x^{2} + 2 x - \frac{d}{d x} x + \frac{d}{d x} (- 1)$

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$f' (x) = 3 x^{2} + 2 x - 1 \cdot 1 + \frac{d}{d x} (- 1)$

Умножим $- 1$ на $1$ .

$f' (x) = 3 x^{2} + 2 x - 1 + \frac{d}{d x} (- 1)$

Продифференцируем, используя правило константы.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Поскольку $- 1$ является константой относительно $x$ , производная $- 1$ относительно $x$ равна $0$ .

$f' (x) = 3 x^{2} + 2 x - 1 + 0$

Добавим $3 x^{2} + 2 x - 1$ и $0$ .

$f' (x) = 3 x^{2} + 2 x - 1$

Первая производная $f (x)$ по $x$ равна $3 x^{2} + 2 x - 1$ .

$3 x^{2} + 2 x - 1$

Step 5

Приравняем первую производную к $0$ , затем найдем решение уравнения $3 x^{2} + 2 x - 1 = 0$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Пусть первая производная равна $0$ .

$3 x^{2} + 2 x - 1 = 0$

Разложим на множители методом группировки

Нажмите для увеличения количества этапов...

Для многочлена вида $a x^{2} + b x + c$ представим средний член в виде суммы двух членов, произведение которых равно $a \cdot c = 3 \cdot - 1 = - 3$ , а сумма — $b = 2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Вынесем множитель $2$ из $2 x$ .

$3 x^{2} + 2 (x) - 1 = 0$

Запишем $2$ как $- 1$ плюс $3$

$3 x^{2} + (- 1 + 3) x - 1 = 0$

Применим свойство дистрибутивности.

$3 x^{2} - 1 x + 3 x - 1 = 0$

Вынесем наибольший общий делитель из каждой группы.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Сгруппируем первые два члена и последние два члена.

$(3 x^{2} - 1 x) + 3 x - 1 = 0$

Вынесем наибольший общий делитель (НОД) из каждой группы.

$x (3 x - 1) + 1 (3 x - 1) = 0$

Разложим многочлен, вынеся наибольший общий делитель $3 x - 1$ .

$(3 x - 1) (x + 1) = 0$

Если любой отдельный множитель в левой части уравнения равен $0$ , все выражение равно $0$ .

$3 x - 1 = 0$

$x + 1 = 0$

Приравняем $3 x - 1$ к $0$ , затем решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Приравняем $3 x - 1$ к $0$ .

$3 x - 1 = 0$

Решим $3 x - 1 = 0$ относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Добавим $1$ к обеим частям уравнения.

$3 x = 1$

Разделим каждый член $3 x = 1$ на $3$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Разделим каждый член $3 x = 1$ на $3$ .

$\frac{3 x}{3} = \frac{1}{3}$

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Сократим общий множитель $3$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Сократим общий множитель.

$\frac{3 x}{3} = \frac{1}{3}$

Разделим $x$ на $1$ .

$x = \frac{1}{3}$

Приравняем $x + 1$ к $0$ , затем решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Приравняем $x + 1$ к $0$ .

$x + 1 = 0$

Вычтем $1$ из обеих частей уравнения.

$x = - 1$

Окончательным решением являются все значения, при которых $(3 x - 1) (x + 1) = 0$ верно.

$x = \frac{1}{3}, - 1$

Step 6

Найдем значения, при которых производная не определена.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Область определения выражения ― все действительные числа, за исключением случаев, когда выражение не определено. В данном случае не существует вещественного числа, при котором выражение не определено.

Step 7

Критические точки, которые необходимо вычислить.

$x = \frac{1}{3}, - 1$

Step 8

Найдем вторую производную в $x = \frac{1}{3}$ . Если вторая производная положительна, то это локальный минимум. Если она отрицательна, то это локальный максимум.

$6 (\frac{1}{3}) + 2$

Step 9

Найдем вторую производную.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Сократим общий множитель $3$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Вынесем множитель $3$ из $6$ .

$3 (2) \frac{1}{3} + 2$

Сократим общий множитель.

$3 \cdot 2 \frac{1}{3} + 2$

Перепишем это выражение.

$2 + 2$

Добавим $2$ и $2$ .

$4$

Step 10

$x = \frac{1}{3}$ — локальный минимум, так как вторая производная положительная. Это называется тестом второй производной.

$x = \frac{1}{3}$ — локальный минимум

Step 11

Найдем значение y, если $x = \frac{1}{3}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Заменим в этом выражении переменную $x$ на $\frac{1}{3}$ .

$f (\frac{1}{3}) = {(\frac{1}{3})}^{3} + {(\frac{1}{3})}^{2} - (\frac{1}{3}) - 1$

Упростим результат.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Применим правило умножения к $\frac{1}{3}$ .

$f (\frac{1}{3}) = \frac{1^{3}}{3^{3}} + {(\frac{1}{3})}^{2} - (\frac{1}{3}) - 1$

Единица в любой степени равна единице.

$f (\frac{1}{3}) = \frac{1}{3^{3}} + {(\frac{1}{3})}^{2} - (\frac{1}{3}) - 1$

Возведем $3$ в степень $3$ .

$f (\frac{1}{3}) = \frac{1}{27} + {(\frac{1}{3})}^{2} - (\frac{1}{3}) - 1$

Применим правило умножения к $\frac{1}{3}$ .

$f (\frac{1}{3}) = \frac{1}{27} + \frac{1^{2}}{3^{2}} - (\frac{1}{3}) - 1$

Единица в любой степени равна единице.

$f (\frac{1}{3}) = \frac{1}{27} + \frac{1}{3^{2}} - (\frac{1}{3}) - 1$

Возведем $3$ в степень $2$ .

$f (\frac{1}{3}) = \frac{1}{27} + \frac{1}{9} - \frac{1}{3} - 1$

Найдем общий знаменатель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Умножим $\frac{1}{9}$ на $\frac{3}{3}$ .

$f (\frac{1}{3}) = \frac{1}{27} + \frac{1}{9} \cdot \frac{3}{3} - \frac{1}{3} - 1$

Умножим $\frac{1}{9}$ на $\frac{3}{3}$ .

$f (\frac{1}{3}) = \frac{1}{27} + \frac{3}{9 \cdot 3} - \frac{1}{3} - 1$

Умножим $\frac{1}{3}$ на $\frac{9}{9}$ .

$f (\frac{1}{3}) = \frac{1}{27} + \frac{3}{9 \cdot 3} - (\frac{1}{3} \cdot \frac{9}{9}) - 1$

Умножим $\frac{1}{3}$ на $\frac{9}{9}$ .

$f (\frac{1}{3}) = \frac{1}{27} + \frac{3}{9 \cdot 3} - \frac{9}{3 \cdot 9} - 1$

Запишем $- 1$ в виде дроби со знаменателем $1$ .

$f (\frac{1}{3}) = \frac{1}{27} + \frac{3}{9 \cdot 3} - \frac{9}{3 \cdot 9} + \frac{- 1}{1}$

Умножим $\frac{- 1}{1}$ на $\frac{27}{27}$ .

$f (\frac{1}{3}) = \frac{1}{27} + \frac{3}{9 \cdot 3} - \frac{9}{3 \cdot 9} + \frac{- 1}{1} \cdot \frac{27}{27}$

Умножим $\frac{- 1}{1}$ на $\frac{27}{27}$ .

$f (\frac{1}{3}) = \frac{1}{27} + \frac{3}{9 \cdot 3} - \frac{9}{3 \cdot 9} + \frac{- 1 \cdot 27}{27}$

Изменим порядок множителей в $9 \cdot 3$ .

$f (\frac{1}{3}) = \frac{1}{27} + \frac{3}{3 \cdot 9} - \frac{9}{3 \cdot 9} + \frac{- 1 \cdot 27}{27}$

Умножим $3$ на $9$ .

$f (\frac{1}{3}) = \frac{1}{27} + \frac{3}{27} - \frac{9}{3 \cdot 9} + \frac{- 1 \cdot 27}{27}$

Умножим $3$ на $9$ .

$f (\frac{1}{3}) = \frac{1}{27} + \frac{3}{27} - \frac{9}{27} + \frac{- 1 \cdot 27}{27}$

Объединим числители над общим знаменателем.

$f (\frac{1}{3}) = \frac{1 + 3 - 9 - 1 \cdot 27}{27}$

Упростим выражение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Умножим $- 1$ на $27$ .

$f (\frac{1}{3}) = \frac{1 + 3 - 9 - 27}{27}$

Добавим $1$ и $3$ .

$f (\frac{1}{3}) = \frac{4 - 9 - 27}{27}$

Вычтем $9$ из $4$ .

$f (\frac{1}{3}) = \frac{- 5 - 27}{27}$

Вычтем $27$ из $- 5$ .

$f (\frac{1}{3}) = \frac{- 32}{27}$

Вынесем знак минуса перед дробью.

$f (\frac{1}{3}) = - \frac{32}{27}$

Окончательный ответ: $- \frac{32}{27}$ .

$y = - \frac{32}{27}$

Step 12

Найдем вторую производную в $x = - 1$ . Если вторая производная положительна, то это локальный минимум. Если она отрицательна, то это локальный максимум.

$6 (- 1) + 2$

Step 13

Найдем вторую производную.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Умножим $6$ на $- 1$ .

$- 6 + 2$

Добавим $- 6$ и $2$ .

$- 4$

Step 14

$x = - 1$ — локальный максимум, так как вторая производная отрицательная. Это называется тестом второй производной.

$x = - 1$ — локальный максимум

Step 15

Найдем значение y, если $x = - 1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Заменим в этом выражении переменную $x$ на $- 1$ .

$f (- 1) = {(- 1)}^{3} + {(- 1)}^{2} - (- 1) - 1$

Упростим результат.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Возведем $- 1$ в степень $3$ .

$f (- 1) = - 1 + {(- 1)}^{2} - (- 1) - 1$

Возведем $- 1$ в степень $2$ .

$f (- 1) = - 1 + 1 - (- 1) - 1$

Умножим $- 1$ на $- 1$ .

$f (- 1) = - 1 + 1 + 1 - 1$

Упростим путем сложения и вычитания.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Добавим $- 1$ и $1$ .

$f (- 1) = 0 + 1 - 1$

Добавим $0$ и $1$ .

$f (- 1) = 1 - 1$

Вычтем $1$ из $1$ .

$f (- 1) = 0$

Окончательный ответ: $0$ .

$y = 0$

Step 16

Это локальные экстремумы $f (x) = x^{3} + x^{2} - x - 1$ .

$(\frac{1}{3}, - \frac{32}{27})$ — локальный минимум

$(- 1, 0)$ — локальный максимум

Step 17