Алгебра Примеры

$f (x) = x^{3} + 5 x^{2} - 4 x - 2$

Step 1

Если у многочленной функции целые коэффициенты, то каждый рациональный ноль будет иметь вид $\frac{p}{q}$ , где $p$ — делитель константы, а $q$ — делитель старшего коэффициента.

$f (x) = p = \pm 1, \pm 2$

$q = \pm 1$

Step 2

Найдем все комбинации $\pm \frac{p}{q}$ . Это ― возможные корни многочлена.

$f (x) = \pm 1, \pm 2$

Step 3

Подставим $1$ и упростим выражение. В этом случае выражение равно $0$ , поэтому $1$ является корнем многочлена.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Подставим $1$ в многочлен.

$f (x) = 1^{3} + 5 \cdot 1^{2} - 4 \cdot 1 - 2$

Возведем $1$ в степень $3$ .

$f (x) = 1 + 5 \cdot 1^{2} - 4 \cdot 1 - 2$

Возведем $1$ в степень $2$ .

$f (x) = 1 + 5 \cdot 1 - 4 \cdot 1 - 2$

Умножим $5$ на $1$ .

$f (x) = 1 + 5 - 4 \cdot 1 - 2$

Добавим $1$ и $5$ .

$f (x) = 6 - 4 \cdot 1 - 2$

Умножим $- 4$ на $1$ .

$f (x) = 6 - 4 - 2$

Вычтем $4$ из $6$ .

$f (x) = 2 - 2$

Вычтем $2$ из $2$ .

$f (x) = 0$

Step 4

Поскольку $1$ — известный корень, разделим многочлен на $x - 1$ , чтобы найти частное многочленов. Этот многочлен можно будет использовать, чтобы найти оставшиеся корни.

$f (x) = \frac{x^{3} + 5 x^{2} - 4 x - 2}{x - 1}$

Step 5

Разделим $x^{3} + 5 x^{2} - 4 x - 2$ на $x - 1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Подготовим многочлены к делению. Если слагаемые представляют не все экспоненты, добавим отсутствующий член со значением $0$ .

$f (x) =$

Разделим член с максимальной степенью в делимом $x^{3}$ на член с максимальной степенью в делителе $x$ .

$f (x) =$

Умножим новое частное на делитель.

$f (x) =$

Выражение необходимо вычесть из делимого, поэтому изменим все знаки в $x^{3} - x^{2}$ .

$f (x) =$

После изменения знаков добавим последнее делимое из умноженного многочлена, чтобы найти новое делимое.

$f (x) =$

Вынесем следующие члены из исходного делимого в текущее делимое.

$f (x) =$

Разделим член с максимальной степенью в делимом $6 x^{2}$ на член с максимальной степенью в делителе $x$ .

$f (x) =$

Умножим новое частное на делитель.

$f (x) =$

Выражение необходимо вычесть из делимого, поэтому изменим все знаки в $6 x^{2} - 6 x$ .

$f (x) =$

После изменения знаков добавим последнее делимое из умноженного многочлена, чтобы найти новое делимое.

$f (x) =$

Вынесем следующие члены из исходного делимого в текущее делимое.

$f (x) =$

Разделим член с максимальной степенью в делимом $2 x$ на член с максимальной степенью в делителе $x$ .

$f (x) =$

Умножим новое частное на делитель.

$f (x) =$

Выражение необходимо вычесть из делимого, поэтому изменим все знаки в $2 x - 2$ .

$f (x) =$

После изменения знаков добавим последнее делимое из умноженного многочлена, чтобы найти новое делимое.

$f (x) =$

Поскольку остаток равен $0$ , окончательным ответом является частное.

$f (x) = x^{2} + 6 x + 2$

Step 6

Запишем $x^{3} + 5 x^{2} - 4 x - 2$ в виде набора множителей.

$f (x) = (x - 1) (x^{2} + 6 x + 2)$