Алгебра Примеры

$(3, 64)$

Step 1

Чтобы найти экспоненциальную функцию, $f (x) = a^{x}$ , график которой проходит через заданную точку, приравняем функцию $f (x)$ значению $64$ , $y$ в заданной точке, а $x$ приравняем значению $3$ , $x$ в заданной точке.

$64 = a^{3}$

Step 2

Решим уравнение относительно $a$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Перепишем уравнение в виде $a^{3} = 64$ .

$a^{3} = 64$

Вычтем $64$ из обеих частей уравнения.

$a^{3} - 64 = 0$

Разложим левую часть уравнения на множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Перепишем $64$ в виде $4^{3}$ .

$a^{3} - 4^{3} = 0$

Поскольку оба члена являются полными кубами, выполним разложение на множители, используя формулу разности кубов, $a^{3} - b^{3} = (a - b) (a^{2} + a b + b^{2})$ , где $a = a$ и $b = 4$ .

$(a - 4) (a^{2} + a \cdot 4 + 4^{2}) = 0$

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Перенесем $4$ влево от $a$ .

$(a - 4) (a^{2} + 4 a + 4^{2}) = 0$

Возведем $4$ в степень $2$ .

$(a - 4) (a^{2} + 4 a + 16) = 0$

Если любой отдельный множитель в левой части уравнения равен $0$ , все выражение равно $0$ .

$a - 4 = 0$

$a^{2} + 4 a + 16 = 0$

Приравняем $a - 4$ к $0$ , затем решим относительно $a$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Приравняем $a - 4$ к $0$ .

$a - 4 = 0$

Добавим $4$ к обеим частям уравнения.

$a = 4$

Приравняем $a^{2} + 4 a + 16$ к $0$ , затем решим относительно $a$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Приравняем $a^{2} + 4 a + 16$ к $0$ .

$a^{2} + 4 a + 16 = 0$

Решим $a^{2} + 4 a + 16 = 0$ относительно $a$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Используем формулу для нахождения корней квадратного уравнения.

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

Подставим значения $a = 1$ , $b = 4$ и $c = 16$ в формулу для корней квадратного уравнения и решим относительно $a$ .

$\frac{- 4 \pm \sqrt{4^{2} - 4 \cdot (1 \cdot 16)}}{2 \cdot 1}$

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Возведем $4$ в степень $2$ .

$a = \frac{- 4 \pm \sqrt{16 - 4 \cdot 1 \cdot 16}}{2 \cdot 1}$

Умножим $- 4 \cdot 1 \cdot 16$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Умножим $- 4$ на $1$ .

$a = \frac{- 4 \pm \sqrt{16 - 4 \cdot 16}}{2 \cdot 1}$

Умножим $- 4$ на $16$ .

$a = \frac{- 4 \pm \sqrt{16 - 64}}{2 \cdot 1}$

Вычтем $64$ из $16$ .

$a = \frac{- 4 \pm \sqrt{- 48}}{2 \cdot 1}$

Перепишем $- 48$ в виде $- 1 (48)$ .

$a = \frac{- 4 \pm \sqrt{- 1 \cdot 48}}{2 \cdot 1}$

Перепишем $\sqrt{- 1 (48)}$ в виде $\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{48}$ .

$a = \frac{- 4 \pm \sqrt{- 1} \cdot \sqrt{48}}{2 \cdot 1}$

Перепишем $\sqrt{- 1}$ в виде $i$ .

$a = \frac{- 4 \pm i \cdot \sqrt{48}}{2 \cdot 1}$

Перепишем $48$ в виде $4^{2} \cdot 3$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Вынесем множитель $16$ из $48$ .

$a = \frac{- 4 \pm i \cdot \sqrt{16 (3)}}{2 \cdot 1}$

Перепишем $16$ в виде $4^{2}$ .

$a = \frac{- 4 \pm i \cdot \sqrt{4^{2} \cdot 3}}{2 \cdot 1}$

Вынесем члены из-под знака корня.

$a = \frac{- 4 \pm i \cdot (4 \sqrt{3})}{2 \cdot 1}$

Перенесем $4$ влево от $i$ .

$a = \frac{- 4 \pm 4 i \sqrt{3}}{2 \cdot 1}$

Умножим $2$ на $1$ .

$a = \frac{- 4 \pm 4 i \sqrt{3}}{2}$

Упростим $\frac{- 4 \pm 4 i \sqrt{3}}{2}$ .

$a = - 2 \pm 2 i \sqrt{3}$

Упростим выражение, которое нужно решить для части $+$ значения $\pm$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Возведем $4$ в степень $2$ .

$a = \frac{- 4 \pm \sqrt{16 - 4 \cdot 1 \cdot 16}}{2 \cdot 1}$

Умножим $- 4 \cdot 1 \cdot 16$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Умножим $- 4$ на $1$ .

$a = \frac{- 4 \pm \sqrt{16 - 4 \cdot 16}}{2 \cdot 1}$

Умножим $- 4$ на $16$ .

$a = \frac{- 4 \pm \sqrt{16 - 64}}{2 \cdot 1}$

Вычтем $64$ из $16$ .

$a = \frac{- 4 \pm \sqrt{- 48}}{2 \cdot 1}$

Перепишем $- 48$ в виде $- 1 (48)$ .

$a = \frac{- 4 \pm \sqrt{- 1 \cdot 48}}{2 \cdot 1}$

Перепишем $\sqrt{- 1 (48)}$ в виде $\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{48}$ .

$a = \frac{- 4 \pm \sqrt{- 1} \cdot \sqrt{48}}{2 \cdot 1}$

Перепишем $\sqrt{- 1}$ в виде $i$ .

$a = \frac{- 4 \pm i \cdot \sqrt{48}}{2 \cdot 1}$

Перепишем $48$ в виде $4^{2} \cdot 3$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Вынесем множитель $16$ из $48$ .

$a = \frac{- 4 \pm i \cdot \sqrt{16 (3)}}{2 \cdot 1}$

Перепишем $16$ в виде $4^{2}$ .

$a = \frac{- 4 \pm i \cdot \sqrt{4^{2} \cdot 3}}{2 \cdot 1}$

Вынесем члены из-под знака корня.

$a = \frac{- 4 \pm i \cdot (4 \sqrt{3})}{2 \cdot 1}$

Перенесем $4$ влево от $i$ .

$a = \frac{- 4 \pm 4 i \sqrt{3}}{2 \cdot 1}$

Умножим $2$ на $1$ .

$a = \frac{- 4 \pm 4 i \sqrt{3}}{2}$

Упростим $\frac{- 4 \pm 4 i \sqrt{3}}{2}$ .

$a = - 2 \pm 2 i \sqrt{3}$

Заменим $\pm$ на $+$ .

$a = - 2 + 2 i \sqrt{3}$

Упростим выражение, которое нужно решить для части $-$ значения $\pm$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Возведем $4$ в степень $2$ .

$a = \frac{- 4 \pm \sqrt{16 - 4 \cdot 1 \cdot 16}}{2 \cdot 1}$

Умножим $- 4 \cdot 1 \cdot 16$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Умножим $- 4$ на $1$ .

$a = \frac{- 4 \pm \sqrt{16 - 4 \cdot 16}}{2 \cdot 1}$

Умножим $- 4$ на $16$ .

$a = \frac{- 4 \pm \sqrt{16 - 64}}{2 \cdot 1}$

Вычтем $64$ из $16$ .

$a = \frac{- 4 \pm \sqrt{- 48}}{2 \cdot 1}$

Перепишем $- 48$ в виде $- 1 (48)$ .

$a = \frac{- 4 \pm \sqrt{- 1 \cdot 48}}{2 \cdot 1}$

Перепишем $\sqrt{- 1 (48)}$ в виде $\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{48}$ .

$a = \frac{- 4 \pm \sqrt{- 1} \cdot \sqrt{48}}{2 \cdot 1}$

Перепишем $\sqrt{- 1}$ в виде $i$ .

$a = \frac{- 4 \pm i \cdot \sqrt{48}}{2 \cdot 1}$

Перепишем $48$ в виде $4^{2} \cdot 3$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Вынесем множитель $16$ из $48$ .

$a = \frac{- 4 \pm i \cdot \sqrt{16 (3)}}{2 \cdot 1}$

Перепишем $16$ в виде $4^{2}$ .

$a = \frac{- 4 \pm i \cdot \sqrt{4^{2} \cdot 3}}{2 \cdot 1}$

Вынесем члены из-под знака корня.

$a = \frac{- 4 \pm i \cdot (4 \sqrt{3})}{2 \cdot 1}$

Перенесем $4$ влево от $i$ .

$a = \frac{- 4 \pm 4 i \sqrt{3}}{2 \cdot 1}$

Умножим $2$ на $1$ .

$a = \frac{- 4 \pm 4 i \sqrt{3}}{2}$

Упростим $\frac{- 4 \pm 4 i \sqrt{3}}{2}$ .

$a = - 2 \pm 2 i \sqrt{3}$

Заменим $\pm$ на $-$ .

$a = - 2 - 2 i \sqrt{3}$

Окончательный ответ является комбинацией обоих решений.

$a = - 2 + 2 i \sqrt{3}, - 2 - 2 i \sqrt{3}$

Окончательным решением являются все значения, при которых $(a - 4) (a^{2} + 4 a + 16) = 0$ верно.

$a = 4, - 2 + 2 i \sqrt{3}, - 2 - 2 i \sqrt{3}$

Избавимся от всех величин, содержащих мнимые компоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Мнимые компоненты отсутствуют. Добавим $4$ к окончательному ответу.

$4$ — вещественное число

Буква $i$ представляет мнимую часть и не является вещественным числом. Не следует добавлять $- 2 + 2 i \sqrt{3}$ к окончательному ответу.

$- 2 + 2 i \sqrt{3}$ — не вещественное число

Буква $i$ представляет мнимую часть и не является вещественным числом. Не следует добавлять $- 2 - 2 i \sqrt{3}$ к окончательному ответу.

$- 2 - 2 i \sqrt{3}$ — не вещественное число

Окончательный ответ ― это список значений, не содержащих мнимых компонентов.

$a = 4$

Step 3

Подставим каждое значение $a$ в функцию $f (x) = a^{x}$ , чтобы найти каждую возможную экспоненциальную функцию.

$f (x) = {(4)}^{x}$