Алгебра Примеры

$[\begin{array}{c} - 1 & 1 \\ - 3 & 2 \end{array}] [\begin{array}{c} x \\ y \end{array}] = [\begin{array}{c} 3 \\ 6 \end{array}]$

Step 1

Найдем обратную матрицу.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Обратную матрицу $2 \times 2$ можно найти, используя формулу $\frac{1}{| A |} [\begin{array}{c} d & - b \\ - c & a \end{array}]$ , где $| A |$ является определителем $A$ .

Если $A = [\begin{array}{c} a & b \\ c & d \end{array}]$ , тогда $A^{- 1} = \frac{1}{| A |} [\begin{array}{c} d & - b \\ - c & a \end{array}]$

Найдем определитель матрицы $[\begin{array}{c} - 1 & 1 \\ - 3 & 2 \end{array}]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Обе эти записи являются допустимыми записями определителя матрицы.

$определитель [\begin{array}{c} - 1 & 1 \\ - 3 & 2 \end{array}] = | \begin{array}{c} - 1 & 1 \\ - 3 & 2 \end{array} |$

Определитель матрицы $2 \times 2$ можно найти, используя формулу $| \begin{array}{c} a & b \\ c & d \end{array} | = a d - c b$ .

$(- 1) (2) + 3 \cdot 1$

Упростим определитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Умножим $- 1$ на $2$ .

$- 2 + 3 \cdot 1$

Умножим $3$ на $1$ .

$- 2 + 3$

Добавим $- 2$ и $3$ .

$1$

Подставим известные значения в формулу для обратной матрицы.

$\frac{1}{1} [\begin{array}{c} 2 & - (1) \\ - (- 3) & - 1 \end{array}]$

Упростим каждый элемент матрицы.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Перегруппируем $- (1)$ .

$\frac{1}{1} [\begin{array}{c} 2 & - 1 \\ - (- 3) & - 1 \end{array}]$

Перегруппируем $- (- 3)$ .

$\frac{1}{1} [\begin{array}{c} 2 & - 1 \\ 3 & - 1 \end{array}]$

Умножим $\frac{1}{1}$ на каждый элемент матрицы.

$[\begin{array}{c} \frac{1}{1} \cdot 2 & \frac{1}{1} \cdot - 1 \\ \frac{1}{1} \cdot 3 & \frac{1}{1} \cdot - 1 \end{array}]$

Упростим каждый элемент матрицы.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Перегруппируем $\frac{1}{1} \cdot 2$ .

$[\begin{array}{c} 2 & \frac{1}{1} \cdot - 1 \\ \frac{1}{1} \cdot 3 & \frac{1}{1} \cdot - 1 \end{array}]$

Перегруппируем $\frac{1}{1} \cdot - 1$ .

$[\begin{array}{c} 2 & - 1 \\ \frac{1}{1} \cdot 3 & \frac{1}{1} \cdot - 1 \end{array}]$

Перегруппируем $\frac{1}{1} \cdot 3$ .

$[\begin{array}{c} 2 & - 1 \\ 3 & \frac{1}{1} \cdot - 1 \end{array}]$

Перегруппируем $\frac{1}{1} \cdot - 1$ .

$[\begin{array}{c} 2 & - 1 \\ 3 & - 1 \end{array}]$

Step 2

Предполагая, что $X$ — это матрица, для которой нужно найти решение, умножим на обратную матрицу обе части уравнения.

$[\begin{array}{c} 2 & - 1 \\ 3 & - 1 \end{array}] \cdot ([\begin{array}{c} - 1 & 1 \\ - 3 & 2 \end{array}] x) = [\begin{array}{c} 2 & - 1 \\ 3 & - 1 \end{array}] \cdot [\begin{array}{c} 3 \\ 6 \end{array}]$

Step 3

Упростим левую часть уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Умножим каждую строку первой матрицы на каждый столбец второй матрицы.

$[\begin{array}{c} 2 \cdot - 1 - 1 \cdot - 3 & 2 \cdot 1 - 1 \cdot 2 \\ 3 \cdot - 1 - 1 \cdot - 3 & 3 \cdot 1 - 1 \cdot 2 \end{array}] x = [\begin{array}{c} 2 & - 1 \\ 3 & - 1 \end{array}] \cdot [\begin{array}{c} 3 \\ 6 \end{array}]$

Упростим каждый элемент матрицы путем перемножения всех выражений.

$[\begin{array}{c} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{array}] x = [\begin{array}{c} 2 & - 1 \\ 3 & - 1 \end{array}] \cdot [\begin{array}{c} 3 \\ 6 \end{array}]$

Умножение единичной матрицы на любую матрицу $x$ дает матрицу $x$ .

$x = [\begin{array}{c} 2 & - 1 \\ 3 & - 1 \end{array}] \cdot [\begin{array}{c} 3 \\ 6 \end{array}]$

Step 4

Упростим правую часть уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Умножим каждую строку первой матрицы на каждый столбец второй матрицы.

$x = [\begin{array}{c} 2 \cdot 3 - 1 \cdot 6 \\ 3 \cdot 3 - 1 \cdot 6 \end{array}]$

Упростим каждый элемент матрицы путем перемножения всех выражений.

$x = [\begin{array}{c} 0 \\ 3 \end{array}]$

Матрица представлена в наиболее упрощенной форме.

$x = [\begin{array}{c} 0 \\ 3 \end{array}]$

Step 5

Решение относительно переменных в $[\begin{array}{c} x \\ y \end{array}]$ , ответ $x = 0, y = 3$ .

$x = 0, y = 3$