Алгебра Примеры

$e^{x} + e^{- 5 x}$

Step 1

Запишем $e^{x} + e^{- 5 x}$ в виде функции.

$f (x) = e^{x} + e^{- 5 x}$

Step 2

Найдем первую производную функции.

Нажмите для увеличения количества этапов...

По правилу суммы производная $e^{x} + e^{- 5 x}$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [e^{x}] + \frac{d}{d x} [e^{- 5 x}]$ .

$\frac{d}{d x} [e^{x}] + \frac{d}{d x} [e^{- 5 x}]$

Продифференцируем, используя правило экспоненты, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [a^{x}]$ имеет вид $a^{x} \ln (a)$ , где $a$ = $e$ .

$e^{x} + \frac{d}{d x} [e^{- 5 x}]$

Найдем значение $\frac{d}{d x} [e^{- 5 x}]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Продифференцируем, используя цепное правило (правило дифференцирования сложной функции), которое гласит, что $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ имеет вид $f' (g (x)) g' (x)$ , где $f (x) = e^{x}$ и $g (x) = - 5 x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Чтобы применить цепное правило, зададим $u$ как $- 5 x$ .

$e^{x} + \frac{d}{d u} [e^{u}] \frac{d}{d x} [- 5 x]$

Продифференцируем, используя правило экспоненты, которое гласит, что $\frac{d}{d u} [a^{u}]$ имеет вид $a^{u} \ln (a)$ , где $a$ = $e$ .

$e^{x} + e^{u} \frac{d}{d x} [- 5 x]$

Заменим все вхождения $u$ на $- 5 x$ .

$e^{x} + e^{- 5 x} \frac{d}{d x} [- 5 x]$

Поскольку $- 5$ является константой относительно $x$ , производная $- 5 x$ по $x$ равна $- 5 \frac{d}{d x} [x]$ .

$e^{x} + e^{- 5 x} (- 5 \frac{d}{d x} [x])$

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$e^{x} + e^{- 5 x} (- 5 \cdot 1)$

Умножим $- 5$ на $1$ .

$e^{x} + e^{- 5 x} \cdot - 5$

Перенесем $- 5$ влево от $e^{- 5 x}$ .

$e^{x} - 5 e^{- 5 x}$

Step 3

Найдем вторую производную функции.

Нажмите для увеличения количества этапов...

По правилу суммы производная $e^{x} - 5 e^{- 5 x}$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [e^{x}] + \frac{d}{d x} [- 5 e^{- 5 x}]$ .

$f'' (x) = \frac{d}{d x} (e^{x}) + \frac{d}{d x} (- 5 e^{- 5 x})$

$f'' (x) = e^{x} + \frac{d}{d x} (- 5 e^{- 5 x})$

Найдем значение $\frac{d}{d x} [- 5 e^{- 5 x}]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Поскольку $- 5$ является константой относительно $x$ , производная $- 5 e^{- 5 x}$ по $x$ равна $- 5 \frac{d}{d x} [e^{- 5 x}]$ .

$f'' (x) = e^{x} - 5 \frac{d}{d x} e^{- 5 x}$

Нажмите для увеличения количества этапов...

Чтобы применить цепное правило, зададим $u$ как $- 5 x$ .

$f'' (x) = e^{x} - 5 (\frac{d}{d u} (e^{u}) \frac{d}{d x} (- 5 x))$

$f'' (x) = e^{x} - 5 (e^{u} \frac{d}{d x} (- 5 x))$

Заменим все вхождения $u$ на $- 5 x$ .

$f'' (x) = e^{x} - 5 (e^{- 5 x} \frac{d}{d x} (- 5 x))$

Поскольку $- 5$ является константой относительно $x$ , производная $- 5 x$ по $x$ равна $- 5 \frac{d}{d x} [x]$ .

$f'' (x) = e^{x} - 5 (e^{- 5 x} (- 5 \frac{d}{d x} x))$

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$f'' (x) = e^{x} - 5 (e^{- 5 x} (- 5 \cdot 1))$

Умножим $- 5$ на $1$ .

$f'' (x) = e^{x} - 5 (e^{- 5 x} \cdot - 5)$

Перенесем $- 5$ влево от $e^{- 5 x}$ .

$f'' (x) = e^{x} - 5 (- 5 \cdot e^{- 5 x})$

Умножим $- 5$ на $- 5$ .

$f'' (x) = e^{x} + 25 e^{- 5 x}$

Изменим порядок членов.

$f'' (x) = 25 e^{- 5 x} + e^{x}$

Step 4

Чтобы найти локальные максимумы и минимумы функции, приравняем производную к $0$ и решим полученное уравнение.

$e^{x} - 5 e^{- 5 x} = 0$

Step 5

Найдем первую производную.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Найдем первую производную.

Нажмите для увеличения количества этапов...

По правилу суммы производная $e^{x} + e^{- 5 x}$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [e^{x}] + \frac{d}{d x} [e^{- 5 x}]$ .

$f' (x) = \frac{d}{d x} (e^{x}) + \frac{d}{d x} (e^{- 5 x})$

$f' (x) = e^{x} + \frac{d}{d x} (e^{- 5 x})$

Найдем значение $\frac{d}{d x} [e^{- 5 x}]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Чтобы применить цепное правило, зададим $u$ как $- 5 x$ .

$f' (x) = e^{x} + \frac{d}{d u} (e^{u}) \frac{d}{d x} (- 5 x)$

$f' (x) = e^{x} + e^{u} \frac{d}{d x} (- 5 x)$

Заменим все вхождения $u$ на $- 5 x$ .

$f' (x) = e^{x} + e^{- 5 x} \frac{d}{d x} (- 5 x)$

Поскольку $- 5$ является константой относительно $x$ , производная $- 5 x$ по $x$ равна $- 5 \frac{d}{d x} [x]$ .

$f' (x) = e^{x} + e^{- 5 x} (- 5 \frac{d}{d x} x)$

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$f' (x) = e^{x} + e^{- 5 x} (- 5 \cdot 1)$

Умножим $- 5$ на $1$ .

$f' (x) = e^{x} + e^{- 5 x} \cdot - 5$

Перенесем $- 5$ влево от $e^{- 5 x}$ .

$f' (x) = e^{x} - 5 e^{- 5 x}$

Первая производная $f (x)$ по $x$ равна $e^{x} - 5 e^{- 5 x}$ .

$e^{x} - 5 e^{- 5 x}$

Step 6

Приравняем первую производную к $0$ , затем найдем решение уравнения $e^{x} - 5 e^{- 5 x} = 0$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Пусть первая производная равна $0$ .

$e^{x} - 5 e^{- 5 x} = 0$

Перенесем $- 5 e^{- 5 x}$ в правую часть уравнения, прибавив данный член к обеим частям.

$e^{x} = 5 e^{- 5 x}$

Возьмем натуральный логарифм обеих частей уравнения, чтобы удалить переменную из показателя степени.

$\ln (e^{x}) = \ln (5 e^{- 5 x})$

Развернем левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Развернем $\ln (e^{x})$ , вынося $x$ из логарифма.

$x \ln (e) = \ln (5 e^{- 5 x})$

Натуральный логарифм $e$ равен $1$ .

$x \cdot 1 = \ln (5 e^{- 5 x})$

Умножим $x$ на $1$ .

$x = \ln (5 e^{- 5 x})$

Развернем правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Перепишем $\ln (5 e^{- 5 x})$ в виде $\ln (5) + \ln (e^{- 5 x})$ .

$x = \ln (5) + \ln (e^{- 5 x})$

Развернем $\ln (e^{- 5 x})$ , вынося $- 5 x$ из логарифма.

$x = \ln (5) - 5 x \ln (e)$

Натуральный логарифм $e$ равен $1$ .

$x = \ln (5) - 5 x \cdot 1$

Умножим $- 5$ на $1$ .

$x = \ln (5) - 5 x$

Перенесем все члены с $x$ в левую часть уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Добавим $5 x$ к обеим частям уравнения.

$x + 5 x = \ln (5)$

Добавим $x$ и $5 x$ .

$6 x = \ln (5)$

Разделим каждый член $6 x = \ln (5)$ на $6$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Разделим каждый член $6 x = \ln (5)$ на $6$ .

$\frac{6 x}{6} = \frac{\ln (5)}{6}$

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Сократим общий множитель $6$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Сократим общий множитель.

$\frac{6 x}{6} = \frac{\ln (5)}{6}$

Разделим $x$ на $1$ .

$x = \frac{\ln (5)}{6}$

Step 7

Найдем значения, при которых производная не определена.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Область определения выражения ― все действительные числа, за исключением случаев, когда выражение не определено. В данном случае не существует вещественного числа, при котором выражение не определено.

Step 8

Критические точки, которые необходимо вычислить.

$x = \frac{\ln (5)}{6}$

Step 9

Найдем вторую производную в $x = \frac{\ln (5)}{6}$ . Если вторая производная положительна, то это локальный минимум. Если она отрицательна, то это локальный максимум.

$25 e^{- 5 \frac{\ln (5)}{6}} + e^{\frac{\ln (5)}{6}}$

Step 10

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Перепишем $\frac{\ln (5)}{6}$ в виде $\frac{1}{6} \ln (5)$ .

$25 e^{- 5 (\frac{1}{6} \ln (5))} + e^{\frac{\ln (5)}{6}}$

Упростим $\frac{1}{6} \ln (5)$ путем переноса $\frac{1}{6}$ под логарифм.

$25 e^{- 5 \ln (5^{\frac{1}{6}})} + e^{\frac{\ln (5)}{6}}$

Упростим $- 5 \ln (5^{\frac{1}{6}})$ путем переноса $- 5$ под логарифм.

$25 e^{\ln ({(5^{\frac{1}{6}})}^{- 5})} + e^{\frac{\ln (5)}{6}}$

Экспонента и логарифм являются обратными функциями.

$25 {(5^{\frac{1}{6}})}^{- 5} + e^{\frac{\ln (5)}{6}}$

Перемножим экспоненты в ${(5^{\frac{1}{6}})}^{- 5}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$25 \cdot 5^{\frac{1}{6} \cdot - 5} + e^{\frac{\ln (5)}{6}}$

Объединим $\frac{1}{6}$ и $- 5$ .

$25 \cdot 5^{\frac{- 5}{6}} + e^{\frac{\ln (5)}{6}}$

Вынесем знак минуса перед дробью.

$25 \cdot 5^{- \frac{5}{6}} + e^{\frac{\ln (5)}{6}}$

Перепишем выражение, используя правило отрицательных степеней $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$25 \cdot \frac{1}{5^{\frac{5}{6}}} + e^{\frac{\ln (5)}{6}}$

Объединим $25$ и $\frac{1}{5^{\frac{5}{6}}}$ .

$\frac{25}{5^{\frac{5}{6}}} + e^{\frac{\ln (5)}{6}}$

Перепишем $\frac{\ln (5)}{6}$ в виде $\frac{1}{6} \ln (5)$ .

$\frac{25}{5^{\frac{5}{6}}} + e^{\frac{1}{6} \ln (5)}$

Упростим $\frac{1}{6} \ln (5)$ путем переноса $\frac{1}{6}$ под логарифм.

$\frac{25}{5^{\frac{5}{6}}} + e^{\ln (5^{\frac{1}{6}})}$

Экспонента и логарифм являются обратными функциями.

$\frac{25}{5^{\frac{5}{6}}} + 5^{\frac{1}{6}}$

Step 11

$x = \frac{\ln (5)}{6}$ — локальный минимум, так как вторая производная положительная. Это называется тестом второй производной.

$x = \frac{\ln (5)}{6}$ — локальный минимум

Step 12

Найдем значение y, если $x = \frac{\ln (5)}{6}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Simplify $\frac{\ln (5)}{6}$ to substitute in $f (x) = e^{x} + e^{- 5 x}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Перепишем $\frac{\ln (5)}{6}$ в виде $\frac{1}{6} \ln (5)$ .

$y = \frac{1}{6} \cdot \ln (5)$

Упростим $\frac{1}{6} \ln (5)$ путем переноса $\frac{1}{6}$ под логарифм.

$y = \ln (5^{\frac{1}{6}})$

Заменим в этом выражении переменную $x$ на $\ln (5^{\frac{1}{6}})$ .

$f (\ln (5^{\frac{1}{6}})) = e^{\ln (5^{\frac{1}{6}})} + e^{- 5 \ln (5^{\frac{1}{6}})}$

Упростим результат.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Экспонента и логарифм являются обратными функциями.

$f (\ln (5^{\frac{1}{6}})) = 5^{\frac{1}{6}} + e^{- 5 \ln (5^{\frac{1}{6}})}$

Упростим $- 5 \ln (5^{\frac{1}{6}})$ путем переноса $- 5$ под логарифм.

$f (\ln (5^{\frac{1}{6}})) = 5^{\frac{1}{6}} + e^{\ln ({(5^{\frac{1}{6}})}^{- 5})}$

Экспонента и логарифм являются обратными функциями.

$f (\ln (5^{\frac{1}{6}})) = 5^{\frac{1}{6}} + {(5^{\frac{1}{6}})}^{- 5}$

Перемножим экспоненты в ${(5^{\frac{1}{6}})}^{- 5}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f (\ln (5^{\frac{1}{6}})) = 5^{\frac{1}{6}} + 5^{\frac{1}{6} \cdot - 5}$

Объединим $\frac{1}{6}$ и $- 5$ .

$f (\ln (5^{\frac{1}{6}})) = 5^{\frac{1}{6}} + 5^{\frac{- 5}{6}}$

Вынесем знак минуса перед дробью.

$f (\ln (5^{\frac{1}{6}})) = 5^{\frac{1}{6}} + 5^{- \frac{5}{6}}$

Перепишем выражение, используя правило отрицательных степеней $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$f (\ln (5^{\frac{1}{6}})) = 5^{\frac{1}{6}} + \frac{1}{5^{\frac{5}{6}}}$

Окончательный ответ: $5^{\frac{1}{6}} + \frac{1}{5^{\frac{5}{6}}}$ .

$y = 5^{\frac{1}{6}} + \frac{1}{5^{\frac{5}{6}}}$

Step 13

Это локальные экстремумы $f (x) = e^{x} + e^{- 5 x}$ .

$(\frac{\ln (5)}{6}, 5^{\frac{1}{6}} + \frac{1}{5^{\frac{5}{6}}})$ — локальный минимум

Step 14