Алгебра Примеры

$\frac{y^{2}}{25} - \frac{{(x - 6)}^{2}}{144} = 1$

Step 1

Упростим каждый член уравнения, чтобы правая часть была равна $1$ . Стандартная форма уравнения эллипса или гиперболы требует, чтобы правая часть уравнения была равна $1$ .

$\frac{y^{2}}{25} - \frac{{(x - 6)}^{2}}{144} = 1$

Step 2

Это формула гиперболы. Используем эту формулу для определения вершин и асимптот гиперболы.

$\frac{{(y - k)}^{2}}{a^{2}} - \frac{{(x - h)}^{2}}{b^{2}} = 1$

Step 3

Сопоставим параметры гиперболы со значениями в стандартной форме. Переменная $h$ представляет сдвиг по оси X от начала координат, $k$ — сдвиг по оси Y от начала координат, $a$ .

$a = 5$

$b = 12$

$k = 0$

$h = 6$

Step 4

Центр гиперболы имеет вид $(h, k)$ . Подставим значения $h$ и $k$ .

$(6, 0)$

Step 5

Найдем $c$ , расстояние от центра до фокуса.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Найдем расстояние от центра до фокуса гиперболы, используя следующую формулу.

$\sqrt{a^{2} + b^{2}}$

Подставим значения $a$ и $b$ в формулу.

$\sqrt{{(5)}^{2} + {(12)}^{2}}$

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Возведем $5$ в степень $2$ .

$\sqrt{25 + {(12)}^{2}}$

Возведем $12$ в степень $2$ .

$\sqrt{25 + 144}$

Добавим $25$ и $144$ .

$\sqrt{169}$

Перепишем $169$ в виде $13^{2}$ .

$\sqrt{13^{2}}$

Вынесем члены из-под знака корня, предполагая, что вещественные числа являются положительными.

$13$

Step 6

Найдем вершины.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Первую вершину гиперболы можно найти, добавив $a$ к $k$ .

$(h, k + a)$

Подставим известные значения $h$ , $a$ и $k$ в формулу и упростим.

$(6, 5)$

Вторую вершину гиперболы можно найти, вычтя $a$ из $k$ .

$(h, k - a)$

Подставим известные значения $h$ , $a$ и $k$ в формулу и упростим.

$(6, - 5)$

Вершины гиперболы имеют вид $(h, k \pm a)$ . Гиперболы имеют две вершины.

$(6, 5), (6, - 5)$

Step 7

Найдем фокусы.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Первый фокус гиперболы можно найти, добавив $c$ к $k$ .

$(h, k + c)$

Подставим известные значения $h$ , $c$ и $k$ в формулу и упростим.

$(6, 13)$

Второй фокус гиперболы можно найти, вычтя $c$ из $k$ .

$(h, k - c)$

Подставим известные значения $h$ , $c$ и $k$ в формулу и упростим.

$(6, - 13)$

Фокусы гиперболы имеют вид $(h, k \pm \sqrt{a^{2} + b^{2}})$ . Гиперболы имеют два фокуса.

$(6, 13), (6, - 13)$

Step 8

Найдем эксцентриситет.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Найдем эксцентриситет по приведенной ниже формуле.

$\frac{\sqrt{a^{2} + b^{2}}}{a}$

Подставим значения $a$ и $b$ в формулу.

$\frac{\sqrt{{(5)}^{2} + {(12)}^{2}}}{5}$

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Возведем $5$ в степень $2$ .

$\frac{\sqrt{25 + 12^{2}}}{5}$

Возведем $12$ в степень $2$ .

$\frac{\sqrt{25 + 144}}{5}$

Добавим $25$ и $144$ .

$\frac{\sqrt{169}}{5}$

Перепишем $169$ в виде $13^{2}$ .

$\frac{\sqrt{13^{2}}}{5}$

Вынесем члены из-под знака корня, предполагая, что вещественные числа являются положительными.

$\frac{13}{5}$

Step 9

Найдем фокальный параметр.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Найдем значение фокального параметра гиперболы по следующей формуле.

$\frac{b^{2}}{\sqrt{a^{2} + b^{2}}}$

Подставим значения $b$ и $\sqrt{a^{2} + b^{2}}$ в формулу.

$\frac{12^{2}}{13}$

Возведем $12$ в степень $2$ .

$\frac{144}{13}$

Step 10

Асимптоты имеют вид $y = \pm \frac{a (x - h)}{b} + k$ , так как ветви этой гиперболы направлены вверх и вниз.

$y = \pm \frac{5}{12} \cdot (x - (6)) + 0$

Step 11

Упростим, чтобы найти первую асимптоту.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Избавимся от скобок.

$y = \frac{5}{12} \cdot (x - (6)) + 0$

Упростим $\frac{5}{12} \cdot (x - (6)) + 0$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Упростим выражение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Добавим $\frac{5}{12} \cdot (x - (6))$ и $0$ .

$y = \frac{5}{12} \cdot (x - (6))$

Умножим $- 1$ на $6$ .

$y = \frac{5}{12} \cdot (x - 6)$

Применим свойство дистрибутивности.

$y = \frac{5}{12} x + \frac{5}{12} \cdot - 6$

Объединим $\frac{5}{12}$ и $x$ .

$y = \frac{5 x}{12} + \frac{5}{12} \cdot - 6$

Сократим общий множитель $6$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Вынесем множитель $6$ из $12$ .

$y = \frac{5 x}{12} + \frac{5}{6 (2)} \cdot - 6$

Вынесем множитель $6$ из $- 6$ .

$y = \frac{5 x}{12} + \frac{5}{6 \cdot 2} \cdot (6 \cdot - 1)$

Сократим общий множитель.

$y = \frac{5 x}{12} + \frac{5}{6 \cdot 2} \cdot (6 \cdot - 1)$

Перепишем это выражение.

$y = \frac{5 x}{12} + \frac{5}{2} \cdot - 1$

Объединим $\frac{5}{2}$ и $- 1$ .

$y = \frac{5 x}{12} + \frac{5 \cdot - 1}{2}$

Упростим выражение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Умножим $5$ на $- 1$ .

$y = \frac{5 x}{12} + \frac{- 5}{2}$

Вынесем знак минуса перед дробью.

$y = \frac{5 x}{12} - \frac{5}{2}$

Step 12

Упростим, чтобы найти вторую асимптоту.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Избавимся от скобок.

$y = - \frac{5}{12} \cdot (x - (6)) + 0$

Упростим $- \frac{5}{12} \cdot (x - (6)) + 0$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Упростим члены.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Добавим $- \frac{5}{12} \cdot (x - (6))$ и $0$ .

$y = - \frac{5}{12} \cdot (x - (6))$

Умножим $- 1$ на $6$ .

$y = - \frac{5}{12} \cdot (x - 6)$

Применим свойство дистрибутивности.

$y = - \frac{5}{12} x - \frac{5}{12} \cdot - 6$

Объединим $x$ и $\frac{5}{12}$ .

$y = - \frac{x \cdot 5}{12} - \frac{5}{12} \cdot - 6$

Сократим общий множитель $6$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Перенесем стоящий впереди знак минуса в $- \frac{5}{12}$ в числитель.

$y = - \frac{x \cdot 5}{12} + \frac{- 5}{12} \cdot - 6$

Вынесем множитель $6$ из $12$ .

$y = - \frac{x \cdot 5}{12} + \frac{- 5}{6 (2)} \cdot - 6$

Вынесем множитель $6$ из $- 6$ .

$y = - \frac{x \cdot 5}{12} + \frac{- 5}{6 \cdot 2} \cdot (6 \cdot - 1)$

Сократим общий множитель.

$y = - \frac{x \cdot 5}{12} + \frac{- 5}{6 \cdot 2} \cdot (6 \cdot - 1)$

Перепишем это выражение.

$y = - \frac{x \cdot 5}{12} + \frac{- 5}{2} \cdot - 1$

Объединим $\frac{- 5}{2}$ и $- 1$ .

$y = - \frac{x \cdot 5}{12} + \frac{- 5 \cdot - 1}{2}$

Умножим $- 5$ на $- 1$ .

$y = - \frac{x \cdot 5}{12} + \frac{5}{2}$

Перенесем $5$ влево от $x$ .

$y = - \frac{5 x}{12} + \frac{5}{2}$

Step 13

Эта гипербола имеет две асимптоты.

$y = \frac{5 x}{12} - \frac{5}{2}, y = - \frac{5 x}{12} + \frac{5}{2}$

Step 14

Эти значения представляются важными для построения графика и анализа гиперболы.

Центр: $(6, 0)$

Вершины: $(6, 5), (6, - 5)$

Фокусы: $(6, 13), (6, - 13)$

Эксцентриситет: $\frac{13}{5}$

Фокальный параметр: $\frac{144}{13}$

Асимптоты: $y = \frac{5 x}{12} - \frac{5}{2}$ , $y = - \frac{5 x}{12} + \frac{5}{2}$

Step 15