Алгебра Примеры

$\frac{18}{x (x^{2} + 9)}$

Step 1

Разложим дробь и умножим на общий знаменатель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Для каждого множителя в знаменателе создадим новую дробь, используя множитель в качестве знаменателя, а неизвестное значение — в качестве числителя. Поскольку у множителя 2-й порядок, в числителе должно быть $2$ членов. Количество необходимых членов в числителе всегда равно порядку множителя в знаменателе.

$\frac{A}{x} + \frac{B x + C}{x^{2} + 9}$

Умножим каждую дробь в уравнении на знаменатель исходного выражения. В этом случае знаменатель равен $x (x^{2} + 9)$ .

$\frac{18 (x (x^{2} + 9))}{x (x^{2} + 9)} = \frac{A (x (x^{2} + 9))}{x} + \frac{(B x + C) (x (x^{2} + 9))}{x^{2} + 9}$

Сократим общий множитель $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Сократим общий множитель.

$\frac{18 (x (x^{2} + 9))}{x (x^{2} + 9)} = \frac{A (x (x^{2} + 9))}{x} + \frac{(B x + C) (x (x^{2} + 9))}{x^{2} + 9}$

Перепишем это выражение.

$\frac{18 (x^{2} + 9)}{x^{2} + 9} = \frac{A (x (x^{2} + 9))}{x} + \frac{(B x + C) (x (x^{2} + 9))}{x^{2} + 9}$

Сократим общий множитель $x^{2} + 9$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Сократим общий множитель.

$\frac{18 (x^{2} + 9)}{x^{2} + 9} = \frac{A (x (x^{2} + 9))}{x} + \frac{(B x + C) (x (x^{2} + 9))}{x^{2} + 9}$

Разделим $18$ на $1$ .

$18 = \frac{A (x (x^{2} + 9))}{x} + \frac{(B x + C) (x (x^{2} + 9))}{x^{2} + 9}$

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Сократим общий множитель $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Сократим общий множитель.

$18 = \frac{A (x (x^{2} + 9))}{x} + \frac{(B x + C) (x (x^{2} + 9))}{x^{2} + 9}$

Разделим $A (x^{2} + 9)$ на $1$ .

$18 = A (x^{2} + 9) + \frac{(B x + C) (x (x^{2} + 9))}{x^{2} + 9}$

Применим свойство дистрибутивности.

$18 = A x^{2} + A \cdot 9 + \frac{(B x + C) (x (x^{2} + 9))}{x^{2} + 9}$

Перенесем $9$ влево от $A$ .

$18 = A x^{2} + 9 \cdot A + \frac{(B x + C) (x (x^{2} + 9))}{x^{2} + 9}$

Сократим общий множитель $x^{2} + 9$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Сократим общий множитель.

$18 = A x^{2} + 9 A + \frac{(B x + C) (x (x^{2} + 9))}{x^{2} + 9}$

Разделим $(B x + C) (x)$ на $1$ .

$18 = A x^{2} + 9 A + (B x + C) (x)$

Применим свойство дистрибутивности.

$18 = A x^{2} + 9 A + B x \cdot x + C x$

Умножим $x$ на $x$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Перенесем $x$ .

$18 = A x^{2} + 9 A + B (x \cdot x) + C x$

Умножим $x$ на $x$ .

$18 = A x^{2} + 9 A + B x^{2} + C x$

Упростим выражение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Изменим порядок $C$ и $x$ .

$18 = A x^{2} + 9 A + B x^{2} + C x$

Перенесем $9 A$ .

$18 = A x^{2} + B x^{2} + C x + 9 A$

Step 2

Составим уравнения для переменных элементарной дроби и используем их для создания системы уравнений.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Составим уравнение для переменных элементарной дроби, приравняв коэффициенты $x^{2}$ из каждой части уравнения. Чтобы уравнение было верным, эквивалентные коэффициенты в каждой части уравнения должны быть равны.

$0 = A + B$

Составим уравнение для переменных элементарной дроби, приравняв коэффициенты $x$ из каждой части уравнения. Чтобы уравнение было верным, эквивалентные коэффициенты в каждой части уравнения должны быть равны.

$0 = C$

Составим уравнение для переменных элементарной дроби, приравняв коэффициенты членов, не содержащих $x$ . Чтобы уравнение было верным, эквивалентные коэффициенты в каждой части уравнения должны быть равны.

$18 = 9 A$

Составим систему уравнений, чтобы найти коэффициенты элементарных дробей.

$0 = A + B$

$0 = C$

$18 = 9 A$

$0 = A + B$

$0 = C$

$18 = 9 A$

Step 3

Решим систему уравнений.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Перепишем уравнение в виде $C = 0$ .

$C = 0$

$0 = A + B$

$18 = 9 A$

Заменим все вхождения $C$ на $0$ во всех уравнениях.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Перепишем уравнение в виде $9 A = 18$ .

$9 A = 18$

$C = 0$

$0 = A + B$

Разделим каждый член $9 A = 18$ на $9$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Разделим каждый член $9 A = 18$ на $9$ .

$\frac{9 A}{9} = \frac{18}{9}$

$C = 0$

$0 = A + B$

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Сократим общий множитель $9$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Сократим общий множитель.

$\frac{9 A}{9} = \frac{18}{9}$

$C = 0$

$0 = A + B$

Разделим $A$ на $1$ .

$A = \frac{18}{9}$

$C = 0$

$0 = A + B$

$A = \frac{18}{9}$

$C = 0$

$0 = A + B$

$A = \frac{18}{9}$

$C = 0$

$0 = A + B$

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Разделим $18$ на $9$ .

$A = 2$

$C = 0$

$0 = A + B$

$A = 2$

$C = 0$

$0 = A + B$

$A = 2$

$C = 0$

$0 = A + B$

$A = 2$

$C = 0$

$0 = A + B$

Заменим все вхождения $A$ на $2$ во всех уравнениях.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Заменим все вхождения $A$ в $0 = A + B$ на $2$ .

$0 = (2) + B$

$A = 2$

$C = 0$

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Избавимся от скобок.

$0 = 2 + B$

$A = 2$

$C = 0$

$0 = 2 + B$

$A = 2$

$C = 0$

$0 = 2 + B$

$A = 2$

$C = 0$

Решим относительно $B$ в $0 = 2 + B$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Перепишем уравнение в виде $2 + B = 0$ .

$2 + B = 0$

$A = 2$

$C = 0$

Вычтем $2$ из обеих частей уравнения.

$B = - 2$

$A = 2$

$C = 0$

$B = - 2$

$A = 2$

$C = 0$

Solve the system of equations $B = - 2 A = 2 C = 0$ .

$B = - 2 A = 2 C = 0$

Перечислим все решения.

$B = - 2, A = 2, C = 0$

Step 4

Заменим каждый коэффициент элементарной дроби в $\frac{A}{x} + \frac{B x + C}{x^{2} + 9}$ значениями, найденными для $A$ , $B$ и $C$ .

$\frac{2}{x} + \frac{- 2 x + 0}{x^{2} + 9}$

Step 5

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Избавимся от скобок.

$\frac{2}{x} + \frac{(- 2) \cdot x + 0}{x^{2} + 9}$

Добавим $(- 2) \cdot x$ и $0$ .

$\frac{2}{x} + \frac{- 2 x}{x^{2} + 9}$