Алгебра Примеры

$x^{3} - 7 x^{2} - x + 7 \geq 0$

Step 1

Преобразуем неравенство в уравнение.

$x^{3} - 7 x^{2} - x + 7 = 0$

Step 2

Разложим левую часть уравнения на множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Вынесем наибольший общий делитель из каждой группы.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Сгруппируем первые два члена и последние два члена.

$(x^{3} - 7 x^{2}) - x + 7 = 0$

Вынесем наибольший общий делитель (НОД) из каждой группы.

$x^{2} (x - 7) - (x - 7) = 0$

Разложим многочлен, вынеся наибольший общий делитель $x - 7$ .

$(x - 7) (x^{2} - 1) = 0$

Перепишем $1$ в виде $1^{2}$ .

$(x - 7) (x^{2} - 1^{2}) = 0$

Разложим на множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Поскольку оба члена являются полными квадратами, выполним разложение на множители, используя формулу разности квадратов, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ , где $a = x$ и $b = 1$ .

$(x - 7) ((x + 1) (x - 1)) = 0$

Избавимся от ненужных скобок.

$(x - 7) (x + 1) (x - 1) = 0$

Step 3

Если любой отдельный множитель в левой части уравнения равен $0$ , все выражение равно $0$ .

$x - 7 = 0$

$x + 1 = 0$

$x - 1 = 0$

Step 4

Приравняем $x - 7$ к $0$ , затем решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Приравняем $x - 7$ к $0$ .

$x - 7 = 0$

Добавим $7$ к обеим частям уравнения.

$x = 7$

Step 5

Приравняем $x + 1$ к $0$ , затем решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Приравняем $x + 1$ к $0$ .

$x + 1 = 0$

Вычтем $1$ из обеих частей уравнения.

$x = - 1$

Step 6

Приравняем $x - 1$ к $0$ , затем решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Приравняем $x - 1$ к $0$ .

$x - 1 = 0$

Добавим $1$ к обеим частям уравнения.

$x = 1$

Step 7

Окончательным решением являются все значения, при которых $(x - 7) (x + 1) (x - 1) = 0$ верно.

$x = 7, - 1, 1$

Step 8

Используем каждый корень для создания контрольных интервалов.

$x < - 1$

$- 1 < x < 1$

$1 < x < 7$

$x > 7$

Step 9

Выберем тестовое значение из каждого интервала и подставим это значение в исходное неравенство для определения интервалов, удовлетворяющих неравенству.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Проверим значение на интервале $x < - 1$ и посмотрим, делает ли оно верным неравенство.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Выберем значение на интервале $x < - 1$ и посмотрим, делает ли это значение верным исходное неравенство.

$x = - 4$

Заменим $x$ на $- 4$ в исходном неравенстве.

${(- 4)}^{3} - 7 {(- 4)}^{2} - (- 4) + 7 \geq 0$

Левая часть $- 165$ меньше правой части $0$ , значит, данное утверждение ложно.

False

Проверим значение на интервале $- 1 < x < 1$ и посмотрим, делает ли оно верным неравенство.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Выберем значение на интервале $- 1 < x < 1$ и посмотрим, делает ли это значение верным исходное неравенство.

$x = 0$

Заменим $x$ на $0$ в исходном неравенстве.

${(0)}^{3} - 7 {(0)}^{2} - (0) + 7 \geq 0$

Левая часть $7$ больше правой части $0$ , значит, данное утверждение всегда истинно.

True

Проверим значение на интервале $1 < x < 7$ и посмотрим, делает ли оно верным неравенство.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Выберем значение на интервале $1 < x < 7$ и посмотрим, делает ли это значение верным исходное неравенство.

$x = 4$

Заменим $x$ на $4$ в исходном неравенстве.

${(4)}^{3} - 7 {(4)}^{2} - (4) + 7 \geq 0$

Левая часть $- 45$ меньше правой части $0$ , значит, данное утверждение ложно.

False

Проверим значение на интервале $x > 7$ и посмотрим, делает ли оно верным неравенство.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Выберем значение на интервале $x > 7$ и посмотрим, делает ли это значение верным исходное неравенство.

$x = 10$

Заменим $x$ на $10$ в исходном неравенстве.

${(10)}^{3} - 7 {(10)}^{2} - (10) + 7 \geq 0$

Левая часть $297$ больше правой части $0$ , значит, данное утверждение всегда истинно.

True

Сравним интервалы, чтобы определить, какие из них удовлетворяют исходному неравенству.

$x < - 1$ Ложь

$- 1 < x < 1$ Истина

$1 < x < 7$ Ложь

$x > 7$ Истина

$x < - 1$ Ложь

$- 1 < x < 1$ Истина

$1 < x < 7$ Ложь

$x > 7$ Истина

Step 10

Решение состоит из всех истинных интервалов.

$- 1 \leq x \leq 1$ или $x \geq 7$

Step 11

Преобразуем неравенство в интервальное представление.

$[- 1, 1] \cup [7, \infty)$

Step 12