Алгебра Примеры

$[\begin{array}{c} 4 & 2 \\ 3 & 1 \end{array}]$

Step 1

Назначим матрице имя $A$ , чтобы упростить описание задачи.

$A = [\begin{array}{c} 4 & 2 \\ 3 & 1 \end{array}]$

Step 2

Запишем формулу для построения характеристического уравнения $p (λ)$ .

$p (λ) = определитель (A + (- λ I_{2}))$

Step 3

Подставим известные значения в формулу.

$p (λ) = определитель ([\begin{array}{c} 4 & 2 \\ 3 & 1 \end{array}] - λ [\begin{array}{c} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{array}])$

Step 4

Вычтем собственное значение, умноженное на единичную матрицу, из исходной матрицы.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Умножим $- λ$ на каждый элемент матрицы.

$p (λ) = [\begin{array}{c} 4 & 2 \\ 3 & 1 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ \cdot 1 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}]$

Упростим каждый элемент матрицы.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Перегруппируем $- λ \cdot 1$ .

$p (λ) = [\begin{array}{c} 4 & 2 \\ 3 & 1 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}]$

Перегруппируем $- λ \cdot 0$ .

$p (λ) = [\begin{array}{c} 4 & 2 \\ 3 & 1 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}]$

Перегруппируем $- λ \cdot 0$ .

$p (λ) = [\begin{array}{c} 4 & 2 \\ 3 & 1 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 \\ 0 & - λ \cdot 1 \end{array}]$

Перегруппируем $- λ \cdot 1$ .

$p (λ) = [\begin{array}{c} 4 & 2 \\ 3 & 1 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 \\ 0 & - λ \end{array}]$

Сложим соответствующие элементы.

$p (λ) = [\begin{array}{c} 4 - λ & 2 + 0 \\ 3 + 0 & 1 - λ \end{array}]$

Упростим каждый элемент матрицы $[\begin{array}{c} 4 - λ & 2 + 0 \\ 3 + 0 & 1 - λ \end{array}]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Упростим $2 + 0$ .

$p (λ) = [\begin{array}{c} 4 - λ & 2 \\ 3 + 0 & 1 - λ \end{array}]$

Упростим $3 + 0$ .

$p (λ) = [\begin{array}{c} 4 - λ & 2 \\ 3 & 1 - λ \end{array}]$

Step 5

Найдем определитель матрицы $[\begin{array}{c} 4 - λ & 2 \\ 3 & 1 - λ \end{array}]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Обе эти записи являются допустимыми записями определителя матрицы.

$определитель [\begin{array}{c} 4 - λ & 2 \\ 3 & 1 - λ \end{array}] = | \begin{array}{c} 4 - λ & 2 \\ 3 & 1 - λ \end{array} |$

Определитель матрицы $2 \times 2$ можно найти, используя формулу $| \begin{array}{c} a & b \\ c & d \end{array} | = a d - c b$ .

$p (λ) = (4 - λ) (1 - λ) - 3 \cdot 2$

Упростим определитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Развернем $(4 - λ) (1 - λ)$ , используя метод «первые-внешние-внутренние-последние».

Нажмите для увеличения количества этапов...

Применим свойство дистрибутивности.

$p (λ) = 4 (1 - λ) - λ (1 - λ) - 3 \cdot 2$

Применим свойство дистрибутивности.

$p (λ) = 4 \cdot 1 + 4 (- λ) - λ (1 - λ) - 3 \cdot 2$

Применим свойство дистрибутивности.

$p (λ) = 4 \cdot 1 + 4 (- λ) - λ \cdot 1 - λ (- λ) - 3 \cdot 2$

Упростим и объединим подобные члены.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Умножим $4$ на $1$ .

$p (λ) = 4 + 4 (- λ) - λ \cdot 1 - λ (- λ) - 3 \cdot 2$

Умножим $- 1$ на $4$ .

$p (λ) = 4 - 4 λ - λ \cdot 1 - λ (- λ) - 3 \cdot 2$

Умножим $- 1$ на $1$ .

$p (λ) = 4 - 4 λ - λ - λ (- λ) - 3 \cdot 2$

Перепишем, используя свойство коммутативности умножения.

$p (λ) = 4 - 4 λ - λ - 1 \cdot (- 1 λ \cdot λ) - 3 \cdot 2$

Умножим $λ$ на $λ$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Перенесем $λ$ .

$p (λ) = 4 - 4 λ - λ - 1 \cdot (- 1 (λ \cdot λ)) - 3 \cdot 2$

Умножим $λ$ на $λ$ .

$p (λ) = 4 - 4 λ - λ - 1 \cdot (- 1 λ^{2}) - 3 \cdot 2$

Умножим $- 1$ на $- 1$ .

$p (λ) = 4 - 4 λ - λ + 1 λ^{2} - 3 \cdot 2$

Умножим $λ^{2}$ на $1$ .

$p (λ) = 4 - 4 λ - λ + λ^{2} - 3 \cdot 2$

Вычтем $λ$ из $- 4 λ$ .

$p (λ) = 4 - 5 λ + λ^{2} - 3 \cdot 2$

Умножим $- 3$ на $2$ .

$p (λ) = 4 - 5 λ + λ^{2} - 6$

Вычтем $6$ из $4$ .

$p (λ) = - 5 λ + λ^{2} - 2$

Step 6

Упорядочим многочлен.

$p (λ) = λ^{2} - 5 λ - 2$

Step 7

Примем характеристический многочлен равным $0$ , чтобы найти собственные значения $λ$ .

$λ^{2} - 5 λ - 2 = 0$

Step 8

Найдем корни $λ^{2} - 5 λ - 2 = 0$ , решив это уравнение относительно $λ$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Используем формулу для нахождения корней квадратного уравнения.

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

Подставим значения $a = 1$ , $b = - 5$ и $c = - 2$ в формулу для корней квадратного уравнения и решим относительно $λ$ .

$\frac{5 \pm \sqrt{{(- 5)}^{2} - 4 \cdot (1 \cdot - 2)}}{2 \cdot 1}$

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Возведем $- 5$ в степень $2$ .

$λ = \frac{5 \pm \sqrt{25 - 4 \cdot 1 \cdot - 2}}{2 \cdot 1}$

Умножим $- 4 \cdot 1 \cdot - 2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Умножим $- 4$ на $1$ .

$λ = \frac{5 \pm \sqrt{25 - 4 \cdot - 2}}{2 \cdot 1}$

Умножим $- 4$ на $- 2$ .

$λ = \frac{5 \pm \sqrt{25 + 8}}{2 \cdot 1}$

Добавим $25$ и $8$ .

$λ = \frac{5 \pm \sqrt{33}}{2 \cdot 1}$

Умножим $2$ на $1$ .

$λ = \frac{5 \pm \sqrt{33}}{2}$

Упростим выражение, которое нужно решить для части $+$ значения $\pm$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Возведем $- 5$ в степень $2$ .

$λ = \frac{5 \pm \sqrt{25 - 4 \cdot 1 \cdot - 2}}{2 \cdot 1}$

Умножим $- 4 \cdot 1 \cdot - 2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Умножим $- 4$ на $1$ .

$λ = \frac{5 \pm \sqrt{25 - 4 \cdot - 2}}{2 \cdot 1}$

Умножим $- 4$ на $- 2$ .

$λ = \frac{5 \pm \sqrt{25 + 8}}{2 \cdot 1}$

Добавим $25$ и $8$ .

$λ = \frac{5 \pm \sqrt{33}}{2 \cdot 1}$

Умножим $2$ на $1$ .

$λ = \frac{5 \pm \sqrt{33}}{2}$

Заменим $\pm$ на $+$ .

$λ = \frac{5 + \sqrt{33}}{2}$

Упростим выражение, которое нужно решить для части $-$ значения $\pm$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Возведем $- 5$ в степень $2$ .

$λ = \frac{5 \pm \sqrt{25 - 4 \cdot 1 \cdot - 2}}{2 \cdot 1}$

Умножим $- 4 \cdot 1 \cdot - 2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Умножим $- 4$ на $1$ .

$λ = \frac{5 \pm \sqrt{25 - 4 \cdot - 2}}{2 \cdot 1}$

Умножим $- 4$ на $- 2$ .

$λ = \frac{5 \pm \sqrt{25 + 8}}{2 \cdot 1}$

Добавим $25$ и $8$ .

$λ = \frac{5 \pm \sqrt{33}}{2 \cdot 1}$

Умножим $2$ на $1$ .

$λ = \frac{5 \pm \sqrt{33}}{2}$

Заменим $\pm$ на $-$ .

$λ = \frac{5 - \sqrt{33}}{2}$

Окончательный ответ является комбинацией обоих решений.

$λ = \frac{5 + \sqrt{33}}{2}, \frac{5 - \sqrt{33}}{2}$

Step 9

Собственный вектор $λ = \frac{5 + \sqrt{33}}{2}$ равен нулевому пространству матрицы минус собственное значение, умноженное на единичную матрицу.

$ε_{A} (\frac{5 + \sqrt{33}}{2}) = N (A - λ I_{2})$

Step 10

Подставим известные значения в формулу.

$[\begin{array}{c} 4 & 2 \\ 3 & 1 \end{array}] - \frac{5 + \sqrt{33}}{2 [\begin{array}{c} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{array}]}$

Step 11

Упростим матричное выражение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Умножим $- \frac{5 + \sqrt{33}}{2}$ на каждый элемент матрицы.

$[\begin{array}{c} 4 & 2 \\ 3 & 1 \end{array}] + [\begin{array}{c} - \frac{5 + \sqrt{33}}{2} \cdot 1 & - \frac{5 + \sqrt{33}}{2} \cdot 0 \\ - \frac{5 + \sqrt{33}}{2} \cdot 0 & - \frac{5 + \sqrt{33}}{2} \cdot 1 \end{array}]$

Упростим каждый элемент матрицы.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Перегруппируем $- \frac{5 + \sqrt{33}}{2} \cdot 1$ .

$[\begin{array}{c} 4 & 2 \\ 3 & 1 \end{array}] + [\begin{array}{c} - \frac{5 + \sqrt{33}}{2} & - \frac{5 + \sqrt{33}}{2} \cdot 0 \\ - \frac{5 + \sqrt{33}}{2} \cdot 0 & - \frac{5 + \sqrt{33}}{2} \cdot 1 \end{array}]$

Перегруппируем $- \frac{5 + \sqrt{33}}{2} \cdot 0$ .

$[\begin{array}{c} 4 & 2 \\ 3 & 1 \end{array}] + [\begin{array}{c} - \frac{5 + \sqrt{33}}{2} & 0 \\ - \frac{5 + \sqrt{33}}{2} \cdot 0 & - \frac{5 + \sqrt{33}}{2} \cdot 1 \end{array}]$

Перегруппируем $- \frac{5 + \sqrt{33}}{2} \cdot 0$ .

$[\begin{array}{c} 4 & 2 \\ 3 & 1 \end{array}] + [\begin{array}{c} - \frac{5 + \sqrt{33}}{2} & 0 \\ 0 & - \frac{5 + \sqrt{33}}{2} \cdot 1 \end{array}]$

Перегруппируем $- \frac{5 + \sqrt{33}}{2} \cdot 1$ .

$[\begin{array}{c} 4 & 2 \\ 3 & 1 \end{array}] + [\begin{array}{c} - \frac{5 + \sqrt{33}}{2} & 0 \\ 0 & - \frac{5 + \sqrt{33}}{2} \end{array}]$

Сложим соответствующие элементы.

$[\begin{array}{c} 4 - \frac{5 + \sqrt{33}}{2} & 2 + 0 \\ 3 + 0 & 1 - \frac{5 + \sqrt{33}}{2} \end{array}]$

Упростим каждый элемент матрицы $[\begin{array}{c} 4 - \frac{5 + \sqrt{33}}{2} & 2 + 0 \\ 3 + 0 & 1 - \frac{5 + \sqrt{33}}{2} \end{array}]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Упростим $4 - \frac{5 + \sqrt{33}}{2}$ .

$[\begin{array}{c} \frac{3 - \sqrt{33}}{2} & 2 + 0 \\ 3 + 0 & 1 - \frac{5 + \sqrt{33}}{2} \end{array}]$

Упростим $2 + 0$ .

$[\begin{array}{c} \frac{3 - \sqrt{33}}{2} & 2 \\ 3 + 0 & 1 - \frac{5 + \sqrt{33}}{2} \end{array}]$

Упростим $3 + 0$ .

$[\begin{array}{c} \frac{3 - \sqrt{33}}{2} & 2 \\ 3 & 1 - \frac{5 + \sqrt{33}}{2} \end{array}]$

Упростим $1 - \frac{5 + \sqrt{33}}{2}$ .

$[\begin{array}{c} \frac{3 - \sqrt{33}}{2} & 2 \\ 3 & - \frac{3 + \sqrt{33}}{2} \end{array}]$

Step 12

Приведем матрицу к стандартной форме по строкам.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Выполним операцию со строкой $R_{1} = - \frac{3 + \sqrt{33}}{12} R_{1}$ над $R_{1}$ (строка $1$ ), чтобы преобразовать некоторые элементы строки в $1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Заменим $R_{1}$ (строка $1$ ) операцией над строками $R_{1} = - \frac{3 + \sqrt{33}}{12} R_{1}$ , чтобы преобразовать некоторые элементы строки для получения желаемого значения $1$ .

$[\begin{array}{c} - \frac{3 + \sqrt{33}}{12} R_{1} & - \frac{3 + \sqrt{33}}{12} R_{1} \\ 3 & - \frac{3 + \sqrt{33}}{2} \end{array}]$

$R_{1} = - \frac{3 + \sqrt{33}}{12} R_{1}$

Заменим $R_{1}$ (строка $1$ ) фактическими значениями элементов для операции над строками $R_{1} = - \frac{3 + \sqrt{33}}{12} R_{1}$ .

$[\begin{array}{c} (- \frac{3 + \sqrt{33}}{12}) \cdot (\frac{3 - \sqrt{33}}{2}) & (- \frac{3 + \sqrt{33}}{12}) \cdot (2) \\ 3 & - \frac{3 + \sqrt{33}}{2} \end{array}]$

$R_{1} = - \frac{3 + \sqrt{33}}{12} R_{1}$

Упростим $R_{1}$ (строка $1$ ).

$[\begin{array}{c} 1 & - \frac{3 + \sqrt{33}}{6} \\ 3 & - \frac{3 + \sqrt{33}}{2} \end{array}]$

Выполним операцию со строкой $R_{2} = - 3 \cdot R_{1} + R_{2}$ над $R_{2}$ (строка $2$ ), чтобы преобразовать некоторые элементы строки в $0$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Заменим $R_{2}$ (строка $2$ ) операцией над строками $R_{2} = - 3 \cdot R_{1} + R_{2}$ , чтобы преобразовать некоторые элементы строки для получения желаемого значения $0$ .

$[\begin{array}{c} 1 & - \frac{3 + \sqrt{33}}{6} \\ - 3 \cdot R_{1} + R_{2} & - 3 \cdot R_{1} + R_{2} \end{array}]$

$R_{2} = - 3 \cdot R_{1} + R_{2}$

Заменим $R_{2}$ (строка $2$ ) фактическими значениями элементов для операции над строками $R_{2} = - 3 \cdot R_{1} + R_{2}$ .

$[\begin{array}{c} 1 & - \frac{3 + \sqrt{33}}{6} \\ (- 3) \cdot (1) + 3 & (- 3) \cdot (- \frac{3 + \sqrt{33}}{6}) - \frac{3 + \sqrt{33}}{2} \end{array}]$

$R_{2} = - 3 \cdot R_{1} + R_{2}$

Упростим $R_{2}$ (строка $2$ ).

$[\begin{array}{c} 1 & - \frac{3 + \sqrt{33}}{6} \\ 0 & 0 \end{array}]$

Step 13

Используем полученную матрицу для описания окончательного решения системы уравнений.

$x_{1} - \frac{(3 + \sqrt{33}) x_{2}}{6} = 0$

Step 14

Это выражение представляет собой множество решений системы уравнений.

${(\frac{(3 + \sqrt{33}) x_{2}}{6}, x_{2}) | x_{2} \in ℝ}$

Step 15

Разложим вектор решения, переупорядочив каждое уравнение, представленное в виде приведенной расширенной матрицы, путем решения уравнения относительно зависимой переменной в каждой строке, что приведет к равенству векторов.

$X = [\begin{array}{c} x_{1} \\ x_{2} \end{array}] = [\begin{array}{c} \frac{(3 + \sqrt{33}) x_{2}}{6} \\ x_{2} \end{array}]$

Step 16

Выразим вектор в виде линейной комбинации векторов-столбцов, используя свойства сложения вектор-столбцов.

$X = [\begin{array}{c} x_{1} \\ x_{2} \end{array}] = x_{2} [\begin{array}{c} \frac{3 + \sqrt{33}}{6} \\ 1 \end{array}]$

Step 17

Нуль-пространство множества ― это множество векторов, созданных из свободных переменных системы.

${[\begin{array}{c} \frac{3 + \sqrt{33}}{6} \\ 1 \end{array}]}$

Step 18

Собственный вектор $λ = \frac{5 - \sqrt{33}}{2}$ равен нулевому пространству матрицы минус собственное значение, умноженное на единичную матрицу.

$ε_{A} (\frac{5 - \sqrt{33}}{2}) = N (A - λ I_{2})$

Step 19

Подставим известные значения в формулу.

$[\begin{array}{c} 4 & 2 \\ 3 & 1 \end{array}] - \frac{5 - \sqrt{33}}{2 [\begin{array}{c} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{array}]}$

Step 20

Упростим матричное выражение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Умножим $- \frac{5 - \sqrt{33}}{2}$ на каждый элемент матрицы.

$[\begin{array}{c} 4 & 2 \\ 3 & 1 \end{array}] + [\begin{array}{c} - \frac{5 - \sqrt{33}}{2} \cdot 1 & - \frac{5 - \sqrt{33}}{2} \cdot 0 \\ - \frac{5 - \sqrt{33}}{2} \cdot 0 & - \frac{5 - \sqrt{33}}{2} \cdot 1 \end{array}]$

Упростим каждый элемент матрицы.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Перегруппируем $- \frac{5 - \sqrt{33}}{2} \cdot 1$ .

$[\begin{array}{c} 4 & 2 \\ 3 & 1 \end{array}] + [\begin{array}{c} - \frac{5 - \sqrt{33}}{2} & - \frac{5 - \sqrt{33}}{2} \cdot 0 \\ - \frac{5 - \sqrt{33}}{2} \cdot 0 & - \frac{5 - \sqrt{33}}{2} \cdot 1 \end{array}]$

Перегруппируем $- \frac{5 - \sqrt{33}}{2} \cdot 0$ .

$[\begin{array}{c} 4 & 2 \\ 3 & 1 \end{array}] + [\begin{array}{c} - \frac{5 - \sqrt{33}}{2} & 0 \\ - \frac{5 - \sqrt{33}}{2} \cdot 0 & - \frac{5 - \sqrt{33}}{2} \cdot 1 \end{array}]$

Перегруппируем $- \frac{5 - \sqrt{33}}{2} \cdot 0$ .

$[\begin{array}{c} 4 & 2 \\ 3 & 1 \end{array}] + [\begin{array}{c} - \frac{5 - \sqrt{33}}{2} & 0 \\ 0 & - \frac{5 - \sqrt{33}}{2} \cdot 1 \end{array}]$

Перегруппируем $- \frac{5 - \sqrt{33}}{2} \cdot 1$ .

$[\begin{array}{c} 4 & 2 \\ 3 & 1 \end{array}] + [\begin{array}{c} - \frac{5 - \sqrt{33}}{2} & 0 \\ 0 & - \frac{5 - \sqrt{33}}{2} \end{array}]$

Сложим соответствующие элементы.

$[\begin{array}{c} 4 - \frac{5 - \sqrt{33}}{2} & 2 + 0 \\ 3 + 0 & 1 - \frac{5 - \sqrt{33}}{2} \end{array}]$

Упростим каждый элемент матрицы $[\begin{array}{c} 4 - \frac{5 - \sqrt{33}}{2} & 2 + 0 \\ 3 + 0 & 1 - \frac{5 - \sqrt{33}}{2} \end{array}]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Упростим $4 - \frac{5 - \sqrt{33}}{2}$ .

$[\begin{array}{c} \frac{3 + \sqrt{33}}{2} & 2 + 0 \\ 3 + 0 & 1 - \frac{5 - \sqrt{33}}{2} \end{array}]$

Упростим $2 + 0$ .

$[\begin{array}{c} \frac{3 + \sqrt{33}}{2} & 2 \\ 3 + 0 & 1 - \frac{5 - \sqrt{33}}{2} \end{array}]$

Упростим $3 + 0$ .

$[\begin{array}{c} \frac{3 + \sqrt{33}}{2} & 2 \\ 3 & 1 - \frac{5 - \sqrt{33}}{2} \end{array}]$

Упростим $1 - \frac{5 - \sqrt{33}}{2}$ .

$[\begin{array}{c} \frac{3 + \sqrt{33}}{2} & 2 \\ 3 & - \frac{3 - \sqrt{33}}{2} \end{array}]$

Step 21

Приведем матрицу к стандартной форме по строкам.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Выполним операцию со строкой $R_{1} = - \frac{3 - \sqrt{33}}{12} R_{1}$ над $R_{1}$ (строка $1$ ), чтобы преобразовать некоторые элементы строки в $1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Заменим $R_{1}$ (строка $1$ ) операцией над строками $R_{1} = - \frac{3 - \sqrt{33}}{12} R_{1}$ , чтобы преобразовать некоторые элементы строки для получения желаемого значения $1$ .

$[\begin{array}{c} - \frac{3 - \sqrt{33}}{12} R_{1} & - \frac{3 - \sqrt{33}}{12} R_{1} \\ 3 & - \frac{3 - \sqrt{33}}{2} \end{array}]$

$R_{1} = - \frac{3 - \sqrt{33}}{12} R_{1}$

Заменим $R_{1}$ (строка $1$ ) фактическими значениями элементов для операции над строками $R_{1} = - \frac{3 - \sqrt{33}}{12} R_{1}$ .

$[\begin{array}{c} (- \frac{3 - \sqrt{33}}{12}) \cdot (\frac{3 + \sqrt{33}}{2}) & (- \frac{3 - \sqrt{33}}{12}) \cdot (2) \\ 3 & - \frac{3 - \sqrt{33}}{2} \end{array}]$

$R_{1} = - \frac{3 - \sqrt{33}}{12} R_{1}$

Упростим $R_{1}$ (строка $1$ ).

$[\begin{array}{c} 1 & - \frac{3 - \sqrt{33}}{6} \\ 3 & - \frac{3 - \sqrt{33}}{2} \end{array}]$

Нажмите для увеличения количества этапов...

$[\begin{array}{c} 1 & - \frac{3 - \sqrt{33}}{6} \\ - 3 \cdot R_{1} + R_{2} & - 3 \cdot R_{1} + R_{2} \end{array}]$

$R_{2} = - 3 \cdot R_{1} + R_{2}$

Заменим $R_{2}$ (строка $2$ ) фактическими значениями элементов для операции над строками $R_{2} = - 3 \cdot R_{1} + R_{2}$ .

$[\begin{array}{c} 1 & - \frac{3 - \sqrt{33}}{6} \\ (- 3) \cdot (1) + 3 & (- 3) \cdot (- \frac{3 - \sqrt{33}}{6}) - \frac{3 - \sqrt{33}}{2} \end{array}]$

$R_{2} = - 3 \cdot R_{1} + R_{2}$

Упростим $R_{2}$ (строка $2$ ).

$[\begin{array}{c} 1 & - \frac{3 - \sqrt{33}}{6} \\ 0 & 0 \end{array}]$

Step 22

Используем полученную матрицу для описания окончательного решения системы уравнений.

$x_{1} - \frac{(3 - \sqrt{33}) x_{2}}{6} = 0$

Step 23

Это выражение представляет собой множество решений системы уравнений.

${(\frac{(3 - \sqrt{33}) x_{2}}{6}, x_{2}) | x_{2} \in ℝ}$

Step 24

$X = [\begin{array}{c} x_{1} \\ x_{2} \end{array}] = [\begin{array}{c} \frac{(3 - \sqrt{33}) x_{2}}{6} \\ x_{2} \end{array}]$

Step 25

Выразим вектор в виде линейной комбинации векторов-столбцов, используя свойства сложения вектор-столбцов.

$X = [\begin{array}{c} x_{1} \\ x_{2} \end{array}] = x_{2} [\begin{array}{c} \frac{3 - \sqrt{33}}{6} \\ 1 \end{array}]$

Step 26

Нуль-пространство множества ― это множество векторов, созданных из свободных переменных системы.

${[\begin{array}{c} \frac{3 - \sqrt{33}}{6} \\ 1 \end{array}]}$

Step 27

Собственное пространство $A$ является объединением векторных пространств для каждого собственного значения.

${[\begin{array}{c} \frac{3 + \sqrt{33}}{6} \\ 1 \end{array}]} \cup {[\begin{array}{c} \frac{3 - \sqrt{33}}{6} \\ 1 \end{array}]}$

Step 28