Алгебра Примеры

$2 \sin (x) \cos (y) = 1$

Step 1

Продифференцируем обе части уравнения.

$\frac{d}{d y} (2 \sin (x) \cos (y)) = \frac{d}{d y} (1)$

Step 2

Продифференцируем левую часть уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Поскольку $2$ является константой относительно $y$ , производная $2 \sin (x) \cos (y)$ по $y$ равна $2 \frac{d}{d y} [\sin (x) \cos (y)]$ .

$2 \frac{d}{d y} [\sin (x) \cos (y)]$

Продифференцируем, используя правило умножения, которое гласит, что $\frac{d}{d y} [f (y) g (y)]$ имеет вид $f (y) \frac{d}{d y} [g (y)] + g (y) \frac{d}{d y} [f (y)]$ , где $f (y) = \sin (x)$ и $g (y) = \cos (y)$ .

$2 (\sin (x) \frac{d}{d y} [\cos (y)] + \cos (y) \frac{d}{d y} [\sin (x)])$

Производная $\cos (y)$ по $y$ равна $- \sin (y)$ .

$2 (\sin (x) (- \sin (y)) + \cos (y) \frac{d}{d y} [\sin (x)])$

Продифференцируем, используя цепное правило (правило дифференцирования сложной функции), которое гласит, что $\frac{d}{d y} [f (g (y))]$ имеет вид $f' (g (y)) g' (y)$ , где $f (y) = \sin (y)$ и $g (y) = x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Чтобы применить цепное правило, зададим $u$ как $x$ .

$2 (\sin (x) (- \sin (y)) + \cos (y) (\frac{d}{d u} [\sin (u)] \frac{d}{d y} [x]))$

Производная $\sin (u)$ по $u$ равна $\cos (u)$ .

$2 (\sin (x) (- \sin (y)) + \cos (y) (\cos (u) \frac{d}{d y} [x]))$

Заменим все вхождения $u$ на $x$ .

$2 (\sin (x) (- \sin (y)) + \cos (y) (\cos (x) \frac{d}{d y} [x]))$

Перепишем $\frac{d}{d y} [x]$ в виде $x'$ .

$2 (\sin (x) (- \sin (y)) + \cos (y) \cos (x) x')$

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Применим свойство дистрибутивности.

$2 (\sin (x) (- \sin (y))) + 2 (\cos (y) \cos (x) x')$

Умножим $- 1$ на $2$ .

$- 2 \sin (x) \sin (y) + 2 \cos (y) \cos (x) x'$

Изменим порядок членов.

$- 2 \sin (x) \sin (y) + 2 \cos (x) \cos (y) x'$

Step 3

Поскольку $1$ является константой относительно $y$ , производная $1$ относительно $y$ равна $0$ .

$0$

Step 4

Преобразуем уравнение, приравняв левую часть к правой.

$- 2 \sin (x) \sin (y) + 2 \cos (x) \cos (y) x' = 0$

Step 5

Решим относительно $x'$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Изменим порядок множителей в $- 2 \sin (x) \sin (y) + 2 \cos (x) \cos (y) x'$ .

$- 2 \sin (x) \sin (y) + 2 x' \cos (x) \cos (y) = 0$

Добавим $2 \sin (x) \sin (y)$ к обеим частям уравнения.

$2 x' \cos (x) \cos (y) = 2 \sin (x) \sin (y)$

Разделим каждый член $2 x' \cos (x) \cos (y) = 2 \sin (x) \sin (y)$ на $2 \cos (x) \cos (y)$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Разделим каждый член $2 x' \cos (x) \cos (y) = 2 \sin (x) \sin (y)$ на $2 \cos (x) \cos (y)$ .

$\frac{2 x' \cos (x) \cos (y)}{2 \cos (x) \cos (y)} = \frac{2 \sin (x) \sin (y)}{2 \cos (x) \cos (y)}$

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Сократим общий множитель.

$\frac{2 x' \cos (x) \cos (y)}{2 \cos (x) \cos (y)} = \frac{2 \sin (x) \sin (y)}{2 \cos (x) \cos (y)}$

Перепишем это выражение.

$\frac{x' \cos (x) \cos (y)}{\cos (x) \cos (y)} = \frac{2 \sin (x) \sin (y)}{2 \cos (x) \cos (y)}$

Сократим общий множитель $\cos (x)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Сократим общий множитель.

$\frac{x' \cos (x) \cos (y)}{\cos (x) \cos (y)} = \frac{2 \sin (x) \sin (y)}{2 \cos (x) \cos (y)}$

Перепишем это выражение.

$\frac{x' \cos (y)}{\cos (y)} = \frac{2 \sin (x) \sin (y)}{2 \cos (x) \cos (y)}$

Сократим общий множитель $\cos (y)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Сократим общий множитель.

$\frac{x' \cos (y)}{\cos (y)} = \frac{2 \sin (x) \sin (y)}{2 \cos (x) \cos (y)}$

Разделим $x'$ на $1$ .

$x' = \frac{2 \sin (x) \sin (y)}{2 \cos (x) \cos (y)}$

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Сократим общий множитель.

$x' = \frac{2 \sin (x) \sin (y)}{2 \cos (x) \cos (y)}$

Перепишем это выражение.

$x' = \frac{\sin (x) \sin (y)}{\cos (x) \cos (y)}$

Разделим дроби.

$x' = \frac{\sin (y)}{\cos (y)} \cdot \frac{\sin (x)}{\cos (x)}$

Переведем $\frac{\sin (x)}{\cos (x)}$ в $\tan (x)$ .

$x' = \frac{\sin (y)}{\cos (y)} \tan (x)$

Переведем $\frac{\sin (y)}{\cos (y)}$ в $\tan (y)$ .

$x' = \tan (y) \tan (x)$

Step 6

Заменим $x'$ на $\frac{d x}{d y}$ .

$\frac{d x}{d y} = \tan (y) \tan (x)$