Алгебра Примеры

$\sin (2 x - \frac{π}{2}) = - 1$

Step 1

Возьмем обратный синус обеих частей уравнения, чтобы извлечь $x$ из синуса.

$2 x - \frac{π}{2} = \arcsin (- 1)$

Step 2

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Точное значение $\arcsin (- 1)$ : $- \frac{π}{2}$ .

$2 x - \frac{π}{2} = - \frac{π}{2}$

Step 3

Перенесем все члены без $x$ в правую часть уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Добавим $\frac{π}{2}$ к обеим частям уравнения.

$2 x = - \frac{π}{2} + \frac{π}{2}$

Объединим числители над общим знаменателем.

$2 x = \frac{- π + π}{2}$

Добавим $- π$ и $π$ .

$2 x = \frac{0}{2}$

Разделим $0$ на $2$ .

$2 x = 0$

Step 4

Разделим каждый член $2 x = 0$ на $2$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Разделим каждый член $2 x = 0$ на $2$ .

$\frac{2 x}{2} = \frac{0}{2}$

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Сократим общий множитель.

$\frac{2 x}{2} = \frac{0}{2}$

Разделим $x$ на $1$ .

$x = \frac{0}{2}$

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Разделим $0$ на $2$ .

$x = 0$

Step 5

Функция синуса отрицательна в третьем и четвертом квадрантах. Для нахождения второго решения вычтем решение из $2 π$ , чтобы найти угол приведения. Затем добавим этот угол приведения к $π$ и найдем решение в третьем квадранте.

$2 x - \frac{π}{2} = 2 π + \frac{π}{2} + π$

Step 6

Упростим выражение, чтобы найти второе решение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Вычтем $2 π$ из $2 π + \frac{π}{2} + π$ .

$2 x - \frac{π}{2} = 2 π + \frac{π}{2} + π - 2 π$

Результирующий угол $\frac{3 π}{2}$ является положительным, меньшим $2 π$ и отличается от $2 π + \frac{π}{2} + π$ на полный оборот.

$2 x - \frac{π}{2} = \frac{3 π}{2}$

Решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Перенесем все члены без $x$ в правую часть уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Добавим $\frac{π}{2}$ к обеим частям уравнения.

$2 x = \frac{3 π}{2} + \frac{π}{2}$

Объединим числители над общим знаменателем.

$2 x = \frac{3 π + π}{2}$

Добавим $3 π$ и $π$ .

$2 x = \frac{4 π}{2}$

Сократим общий множитель $4$ и $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Вынесем множитель $2$ из $4 π$ .

$2 x = \frac{2 (2 π)}{2}$

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Вынесем множитель $2$ из $2$ .

$2 x = \frac{2 (2 π)}{2 (1)}$

Сократим общий множитель.

$2 x = \frac{2 (2 π)}{2 \cdot 1}$

Перепишем это выражение.

$2 x = \frac{2 π}{1}$

Разделим $2 π$ на $1$ .

$2 x = 2 π$

Разделим каждый член $2 x = 2 π$ на $2$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Разделим каждый член $2 x = 2 π$ на $2$ .

$\frac{2 x}{2} = \frac{2 π}{2}$

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Сократим общий множитель.

$\frac{2 x}{2} = \frac{2 π}{2}$

Разделим $x$ на $1$ .

$x = \frac{2 π}{2}$

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Сократим общий множитель.

$x = \frac{2 π}{2}$

Разделим $π$ на $1$ .

$x = π$

Step 7

Найдем период $\sin (2 x - \frac{π}{2})$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Период функции можно вычислить по формуле $\frac{2 π}{| b |}$ .

$\frac{2 π}{| b |}$

Заменим $b$ на $2$ в формуле периода.

$\frac{2 π}{| 2 |}$

Абсолютное значение ― это расстояние между числом и нулем. Расстояние между $0$ и $2$ равно $2$ .

$\frac{2 π}{2}$

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Сократим общий множитель.

$\frac{2 π}{2}$

Разделим $π$ на $1$ .

$π$

Step 8

Период функции $\sin (2 x - \frac{π}{2})$ равен $π$ . Поэтому значения повторяются через каждые $π$ рад. в обоих направлениях.

$x = π n, π + π n$ , для любого целого $n$

Step 9

Объединим ответы.

$x = π n$ , для любого целого $n$