Алгебра Примеры

$\ln^{2} (x)$

Step 1

Запишем $\ln^{2} (x)$ в виде функции.

$f (x) = \ln^{2} (x)$

Step 2

Чтобы найти функцию $F (x)$ , найдем неопределенный интеграл производной $f (x)$ .

$F (x) = \int f (x) d x$

Step 3

Составим интеграл, чтобы решить его.

$F (x) = \int \ln^{2} (x) d x$

Step 4

Проинтегрируем по частям, используя формулу $\int u d v = u v - \int v d u$ , где $u = \ln^{2} (x)$ и $d v = 1$ .

$\ln^{2} (x) x - \int x \frac{\ln (x^{2})}{x} d x$

Step 5

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Объединим $x$ и $\frac{\ln (x^{2})}{x}$ .

$\ln^{2} (x) x - \int \frac{x \ln (x^{2})}{x} d x$

Сократим общий множитель $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Сократим общий множитель.

$\ln^{2} (x) x - \int \frac{x \ln (x^{2})}{x} d x$

Разделим $\ln (x^{2})$ на $1$ .

$\ln^{2} (x) x - \int \ln (x^{2}) d x$

$\ln^{2} (x) x - \int 2 \ln (x) d x$

Step 6

Поскольку $2$ — константа по отношению к $x$ , вынесем $2$ из-под знака интеграла.

$\ln^{2} (x) x - (2 \int \ln (x) d x)$

Step 7

Умножим $2$ на $- 1$ .

$\ln^{2} (x) x - 2 \int \ln (x) d x$

Step 8

Проинтегрируем по частям, используя формулу $\int u d v = u v - \int v d u$ , где $u = \ln (x)$ и $d v = 1$ .

$\ln^{2} (x) x - 2 (\ln (x) x - \int x \frac{1}{x} d x)$

Step 9

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Объединим $x$ и $\frac{1}{x}$ .

$\ln^{2} (x) x - 2 (\ln (x) x - \int \frac{x}{x} d x)$

Сократим общий множитель $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Сократим общий множитель.

$\ln^{2} (x) x - 2 (\ln (x) x - \int \frac{x}{x} d x)$

Перепишем это выражение.

$\ln^{2} (x) x - 2 (\ln (x) x - \int d x)$

Step 10

Применим правило дифференцирования постоянных функций.

$\ln^{2} (x) x - 2 (\ln (x) x - (x + C))$

Step 11

Перепишем $\ln^{2} (x) x - 2 (\ln (x) x - (x + C))$ в виде $\ln^{2} (x) x - 2 \ln (x) x + 2 x + C$ .

$\ln^{2} (x) x - 2 \ln (x) x + 2 x + C$

Step 12

Ответ ― первообразная функции $f (x) = \ln^{2} (x)$ .

$F (x) =$ $\ln^{2} (x) x - 2 \ln (x) x + 2 x + C$