Алгебра Примеры

$\cos (2 x) = - \frac{1}{2}$

Step 1

Multiply each term by a factor of $1$ that will equate all the denominators. In this case, all terms need a denominator of $2$ .

$\cos (2 x) \cdot \frac{2}{2} = - \frac{1}{2}$

Step 2

Умножим это выражение на множитель $1$ , чтобы получить наименьшее общее кратное знаменателей (НОЗ) для $2$ .

$\cos (2 x) \cdot 2$

Step 3

Перенесем $2$ влево от $\cos (2 x)$ .

$\frac{2 \cos (2 x)}{2} = - \frac{1}{2}$

Step 4

Упростим $\cos (2 x) \cdot \frac{2}{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Разделим $2$ на $2$ .

$\cos (2 x) \cdot 1 = - \frac{1}{2}$

Умножим $\cos (2 x)$ на $1$ .

$\cos (2 x) = - \frac{1}{2}$

Step 5

Возьмем обратный косинус обеих частей уравнения, чтобы извлечь $x$ из косинуса.

$2 x = \arccos (- \frac{1}{2})$

Step 6

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Точное значение $\arccos (- \frac{1}{2})$ : $\frac{2 π}{3}$ .

$2 x = \frac{2 π}{3}$

Step 7

Разделим каждый член $2 x = \frac{2 π}{3}$ на $2$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Разделим каждый член $2 x = \frac{2 π}{3}$ на $2$ .

$\frac{2 x}{2} = \frac{\frac{2 π}{3}}{2}$

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Сократим общий множитель.

$\frac{2 x}{2} = \frac{\frac{2 π}{3}}{2}$

Разделим $x$ на $1$ .

$x = \frac{\frac{2 π}{3}}{2}$

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Умножим числитель на величину, обратную знаменателю.

$x = \frac{2 π}{3} \cdot \frac{1}{2}$

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Вынесем множитель $2$ из $2 π$ .

$x = \frac{2 (π)}{3} \cdot \frac{1}{2}$

Сократим общий множитель.

$x = \frac{2 π}{3} \cdot \frac{1}{2}$

Перепишем это выражение.

$x = \frac{π}{3}$

Step 8

Функция косинуса отрицательна во втором и третьем квадрантах. Чтобы найти второе решение, вычтем угол приведения из $2 π$ и найдем решение в третьем квадранте.

$2 x = 2 π - \frac{2 π}{3}$

Step 9

Решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Чтобы записать $2 π$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{3}{3}$ .

$2 x = 2 π \cdot \frac{3}{3} - \frac{2 π}{3}$

Объединим $2 π$ и $\frac{3}{3}$ .

$2 x = \frac{2 π \cdot 3}{3} - \frac{2 π}{3}$

Объединим числители над общим знаменателем.

$2 x = \frac{2 π \cdot 3 - 2 π}{3}$

Умножим $3$ на $2$ .

$2 x = \frac{6 π - 2 π}{3}$

Вычтем $2 π$ из $6 π$ .

$2 x = \frac{4 π}{3}$

Разделим каждый член $2 x = \frac{4 π}{3}$ на $2$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Разделим каждый член $2 x = \frac{4 π}{3}$ на $2$ .

$\frac{2 x}{2} = \frac{\frac{4 π}{3}}{2}$

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Сократим общий множитель.

$\frac{2 x}{2} = \frac{\frac{4 π}{3}}{2}$

Разделим $x$ на $1$ .

$x = \frac{\frac{4 π}{3}}{2}$

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Умножим числитель на величину, обратную знаменателю.

$x = \frac{4 π}{3} \cdot \frac{1}{2}$

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Вынесем множитель $2$ из $4 π$ .

$x = \frac{2 (2 π)}{3} \cdot \frac{1}{2}$

Сократим общий множитель.

$x = \frac{2 (2 π)}{3} \cdot \frac{1}{2}$

Перепишем это выражение.

$x = \frac{2 π}{3}$

Step 10

Найдем период $\cos (2 x)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Период функции можно вычислить по формуле $\frac{2 π}{| b |}$ .

$\frac{2 π}{| b |}$

Заменим $b$ на $2$ в формуле периода.

$\frac{2 π}{| 2 |}$

Абсолютное значение ― это расстояние между числом и нулем. Расстояние между $0$ и $2$ равно $2$ .

$\frac{2 π}{2}$

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Сократим общий множитель.

$\frac{2 π}{2}$

Разделим $π$ на $1$ .

$π$

Step 11

Период функции $\cos (2 x)$ равен $π$ . Поэтому значения повторяются через каждые $π$ рад. в обоих направлениях.

$x = \frac{π}{3} + π n, \frac{2 π}{3} + π n$ , для любого целого $n$