Алгебра Примеры

$\ln (2 x)$

Step 1

Поменяем переменные местами.

$x = \ln (2 y)$

Step 2

Решим относительно $y$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Перепишем уравнение в виде $\ln (2 y) = x$ .

$\ln (2 y) = x$

Чтобы решить относительно $y$ , перепишем уравнение, используя свойства логарифмов.

$e^{\ln (2 y)} = e^{x}$

Перепишем $\ln (2 y) = x$ в экспоненциальной форме, используя определение логарифма. Если $x$ и $b$ — положительные вещественные числа и $b \neq 1$ , то $\log_{b} (x) = y$ эквивалентно $b^{y} = x$ .

$e^{x} = 2 y$

Решим относительно $y$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Перепишем уравнение в виде $2 y = e^{x}$ .

$2 y = e^{x}$

Разделим каждый член $2 y = e^{x}$ на $2$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Разделим каждый член $2 y = e^{x}$ на $2$ .

$\frac{2 y}{2} = \frac{e^{x}}{2}$

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Сократим общий множитель.

$\frac{2 y}{2} = \frac{e^{x}}{2}$

Разделим $y$ на $1$ .

$y = \frac{e^{x}}{2}$

Step 3

Replace $y$ with $f^{- 1} (x)$ to show the final answer.

$f^{- 1} (x) = \frac{e^{x}}{2}$

Step 4

Проверим, является ли $f^{- 1} (x) = \frac{e^{x}}{2}$ обратной к $f (x) = \ln (2 x)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Чтобы подтвердить обратную, проверим выполнение условий $f^{- 1} (f (x)) = x$ и $f (f^{- 1} (x)) = x$ .

Найдем значение $f^{- 1} (f (x))$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Представим результирующую суперпозицию функций.

$f^{- 1} (f (x))$

Найдем значение $f^{- 1} (\ln (2 x))$ , подставив значение $f$ в $f^{- 1}$ .

$f^{- 1} (\ln (2 x)) = \frac{e^{\ln (2 x)}}{2}$

Экспонента и логарифм являются обратными функциями.

$f^{- 1} (\ln (2 x)) = \frac{2 x}{2}$

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Сократим общий множитель.

$f^{- 1} (\ln (2 x)) = \frac{2 x}{2}$

Разделим $x$ на $1$ .

$f^{- 1} (\ln (2 x)) = x$

Найдем значение $f (f^{- 1} (x))$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Представим результирующую суперпозицию функций.

$f (f^{- 1} (x))$

Найдем значение $f (\frac{e^{x}}{2})$ , подставив значение $f^{- 1}$ в $f$ .

$f (\frac{e^{x}}{2}) = \ln (2 (\frac{e^{x}}{2}))$

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Сократим общий множитель.

$f (\frac{e^{x}}{2}) = \ln (2 (\frac{e^{x}}{2}))$

Перепишем это выражение.

$f (\frac{e^{x}}{2}) = \ln (e^{x})$

Используем основные свойства логарифмов, чтобы вынести $x$ из степени.

$f (\frac{e^{x}}{2}) = x \ln (e)$

Натуральный логарифм $e$ равен $1$ .

$f (\frac{e^{x}}{2}) = x \cdot 1$

Умножим $x$ на $1$ .

$f (\frac{e^{x}}{2}) = x$

Так как $f^{- 1} (f (x)) = x$ и $f (f^{- 1} (x)) = x$ , то $f^{- 1} (x) = \frac{e^{x}}{2}$ — обратная к $f (x) = \ln (2 x)$ .

$f^{- 1} (x) = \frac{e^{x}}{2}$