Алгебра Примеры

$- 2 + \ln (x)$

Step 1

Поменяем переменные местами.

$x = - 2 + \ln (y)$

Step 2

Решим относительно $y$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Перепишем уравнение в виде $- 2 + \ln (y) = x$ .

$- 2 + \ln (y) = x$

Добавим $2$ к обеим частям уравнения.

$\ln (y) = x + 2$

Чтобы решить относительно $y$ , перепишем уравнение, используя свойства логарифмов.

$e^{\ln (y)} = e^{x + 2}$

Перепишем $\ln (y) = x + 2$ в экспоненциальной форме, используя определение логарифма. Если $x$ и $b$ — положительные вещественные числа и $b \neq 1$ , то $\log_{b} (x) = y$ эквивалентно $b^{y} = x$ .

$e^{x + 2} = y$

Перепишем уравнение в виде $y = e^{x + 2}$ .

$y = e^{x + 2}$

Step 3

Replace $y$ with $f^{- 1} (x)$ to show the final answer.

$f^{- 1} (x) = e^{x + 2}$

Step 4

Проверим, является ли $f^{- 1} (x) = e^{x + 2}$ обратной к $f (x) = - 2 + \ln (x)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Чтобы подтвердить обратную, проверим выполнение условий $f^{- 1} (f (x)) = x$ и $f (f^{- 1} (x)) = x$ .

Найдем значение $f^{- 1} (f (x))$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Представим результирующую суперпозицию функций.

$f^{- 1} (f (x))$

Найдем значение $f^{- 1} (- 2 + \ln (x))$ , подставив значение $f$ в $f^{- 1}$ .

$f^{- 1} (- 2 + \ln (x)) = e^{(- 2 + \ln (x)) + 2}$

Объединим противоположные члены в $(- 2 + \ln (x)) + 2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Добавим $- 2$ и $2$ .

$f^{- 1} (- 2 + \ln (x)) = e^{0 + \ln (x)}$

Добавим $0$ и $\ln (x)$ .

$f^{- 1} (- 2 + \ln (x)) = e^{\ln (x)}$

Экспонента и логарифм являются обратными функциями.

$f^{- 1} (- 2 + \ln (x)) = x$

Найдем значение $f (f^{- 1} (x))$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Представим результирующую суперпозицию функций.

$f (f^{- 1} (x))$

Найдем значение $f (e^{x + 2})$ , подставив значение $f^{- 1}$ в $f$ .

$f (e^{x + 2}) = - 2 + \ln (e^{x + 2})$

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Используем основные свойства логарифмов, чтобы вынести $x + 2$ из степени.

$f (e^{x + 2}) = - 2 + (x + 2) \ln (e)$

Натуральный логарифм $e$ равен $1$ .

$f (e^{x + 2}) = - 2 + (x + 2) \cdot 1$

Умножим $x + 2$ на $1$ .

$f (e^{x + 2}) = - 2 + x + 2$

Объединим противоположные члены в $- 2 + x + 2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Добавим $- 2$ и $2$ .

$f (e^{x + 2}) = x + 0$

Добавим $x$ и $0$ .

$f (e^{x + 2}) = x$

Так как $f^{- 1} (f (x)) = x$ и $f (f^{- 1} (x)) = x$ , то $f^{- 1} (x) = e^{x + 2}$ — обратная к $f (x) = - 2 + \ln (x)$ .

$f^{- 1} (x) = e^{x + 2}$