Алгебра Примеры

$f (x) = \log_{4} (x)$

Step 1

Запишем $f (x) = \log_{4} (x)$ в виде уравнения.

$y = \log_{4} (x)$

Step 2

Поменяем переменные местами.

$x = \log_{4} (y)$

Step 3

Решим относительно $y$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Перепишем уравнение в виде $\log_{4} (y) = x$ .

$\log_{4} (y) = x$

Перепишем $\log_{4} (y) = x$ в экспоненциальной форме, используя определение логарифма. Если $x$ и $b$ — положительные вещественные числа и $b \neq 1$ , то $\log_{b} (x) = y$ эквивалентно $b^{y} = x$ .

$4^{x} = y$

Перепишем уравнение в виде $y = 4^{x}$ .

$y = 4^{x}$

Step 4

Replace $y$ with $f^{- 1} (x)$ to show the final answer.

$f^{- 1} (x) = 4^{x}$

Step 5

Проверим, является ли $f^{- 1} (x) = 4^{x}$ обратной к $f (x) = \log_{4} (x)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Чтобы подтвердить обратную, проверим выполнение условий $f^{- 1} (f (x)) = x$ и $f (f^{- 1} (x)) = x$ .

Найдем значение $f^{- 1} (f (x))$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Представим результирующую суперпозицию функций.

$f^{- 1} (f (x))$

Найдем значение $f^{- 1} (\log_{4} (x))$ , подставив значение $f$ в $f^{- 1}$ .

$f^{- 1} (\log_{4} (x)) = 4^{\log_{4} (x)}$

Экспонента и логарифм являются обратными функциями.

$f^{- 1} (\log_{4} (x)) = x$

Найдем значение $f (f^{- 1} (x))$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Представим результирующую суперпозицию функций.

$f (f^{- 1} (x))$

Найдем значение $f (4^{x})$ , подставив значение $f^{- 1}$ в $f$ .

$f (4^{x}) = \log_{4} (4^{x})$

Используем основные свойства логарифмов, чтобы вынести $x$ из степени.

$f (4^{x}) = x \log_{4} (4)$

Логарифм $4$ по основанию $4$ равен $1$ .

$f (4^{x}) = x \cdot 1$

Умножим $x$ на $1$ .

$f (4^{x}) = x$

Так как $f^{- 1} (f (x)) = x$ и $f (f^{- 1} (x)) = x$ , то $f^{- 1} (x) = 4^{x}$ — обратная к $f (x) = \log_{4} (x)$ .

$f^{- 1} (x) = 4^{x}$