Алгебра Примеры

$y = x^{2} + 1$

Step 1

Поменяем переменные местами.

$x = y^{2} + 1$

Step 2

Решим относительно $y$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Перепишем уравнение в виде $y^{2} + 1 = x$ .

$y^{2} + 1 = x$

Вычтем $1$ из обеих частей уравнения.

$y^{2} = x - 1$

Возьмем квадратный корень от обеих частей уравнения, чтобы исключить член со степенью в левой части.

$y = \pm \sqrt{x - 1}$

Полное решение является результатом как положительных, так и отрицательных частей решения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Сначала с помощью положительного значения $\pm$ найдем первое решение.

$y = \sqrt{x - 1}$

Затем, используя отрицательное значение $\pm$ , найдем второе решение.

$y = - \sqrt{x - 1}$

Полное решение является результатом как положительных, так и отрицательных частей решения.

$y = \sqrt{x - 1}$

$y = - \sqrt{x - 1}$

$y = \sqrt{x - 1}$

$y = - \sqrt{x - 1}$

$y = \sqrt{x - 1}$

$y = - \sqrt{x - 1}$

Step 3

Replace $y$ with $f^{- 1} (x)$ to show the final answer.

$f^{- 1} (x) = \sqrt{x - 1}, - \sqrt{x - 1}$

Step 4

Проверим, является ли $f^{- 1} (x) = \sqrt{x - 1}, - \sqrt{x - 1}$ обратной к $f (x) = x^{2} + 1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Область определения обратной функции — это множество значений исходной функции, и наоборот. Найдем область определения и множество значений $f (x) = x^{2} + 1$ и $f^{- 1} (x) = \sqrt{x - 1}, - \sqrt{x - 1}$ и сравним их.

Найдем множество значений $f (x) = x^{2} + 1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Множество значений ― это множество всех допустимых значений $y$ . Используем график, чтобы найти множество значений.

Интервальное представление:

$[1, \infty)$

Найдем область определения $\sqrt{x - 1}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Зададим подкоренное выражение в $\sqrt{x - 1}$ большим или равным $0$ , чтобы узнать, где определено данное выражение.

$x - 1 \geq 0$

Добавим $1$ к обеим частям неравенства.

$x \geq 1$

Область определения ― это все значения $x$ , при которых выражение определено.

$[1, \infty)$

Найдем область определения $f (x) = x^{2} + 1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Область определения выражения ― все действительные числа, за исключением случаев, когда выражение не определено. В данном случае не существует вещественного числа, при котором выражение не определено.

$(- \infty, \infty)$

Так как область определения $f^{- 1} (x) = \sqrt{x - 1}, - \sqrt{x - 1}$ представляет множество значений, определяемых уравнением $f (x) = x^{2} + 1$ , а множество значений, определяемое уравнениями $f^{- 1} (x) = \sqrt{x - 1}, - \sqrt{x - 1}$ , представляет область определения $f (x) = x^{2} + 1$ , то $f^{- 1} (x) = \sqrt{x - 1}, - \sqrt{x - 1}$ — обратная к $f (x) = x^{2} + 1$ .

$f^{- 1} (x) = \sqrt{x - 1}, - \sqrt{x - 1}$

Step 5