Trigonometria Exemplos

$\sqrt{\frac{\cos (x)}{\tan (x)}}$

Etapa 1

Defina o denominador em $\frac{\cos (x)}{\tan (x)}$ como igual a $0$ para encontrar onde a expressão está indefinida.

$\tan (x) = 0$

Etapa 2

Resolva $x$ .

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Etapa 2.1

Obtenha a tangente inversa dos dois lados da equação para extrair $x$ de dentro da tangente.

$x = \arctan (0)$

Etapa 2.2

Simplifique o lado direito.

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Etapa 2.2.1

O valor exato de $\arctan (0)$ é $0$ .

$x = 0$

Etapa 2.3

A função da tangente é positiva no primeiro e no terceiro quadrantes. Para encontrar a segunda solução, some o ângulo de referência de $π$ para determinar a solução no quarto quadrante.

$x = π + 0$

Etapa 2.4

Some $π$ e $0$ .

$x = π$

Etapa 2.5

Encontre o período de $\tan (x)$ .

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Etapa 2.5.1

O período da função pode ser calculado ao usar $\frac{π}{| b |}$ .

$\frac{π}{| b |}$

Etapa 2.5.2

Substitua $b$ por $1$ na fórmula do período.

$\frac{π}{| 1 |}$

Etapa 2.5.3

O valor absoluto é a distância entre um número e zero. A distância entre $0$ e $1$ é $1$ .

$\frac{π}{1}$

Etapa 2.5.4

Divida $π$ por $1$ .

$π$

Etapa 2.6

O período da função $\tan (x)$ é $π$ . Portanto, os valores se repetirão a cada $π$ radianos nas duas direções.

$x = π n, π + π n$ , para qualquer número inteiro $n$

Etapa 2.7

Consolide as respostas.

$x = π n$ , para qualquer número inteiro $n$

Etapa 3

Defina o radicando em $\sqrt{\frac{\cos (x)}{\tan (x)}}$ como menor do que $0$ para encontrar onde a expressão está indefinida.

$\frac{\cos (x)}{\tan (x)} < 0$

Etapa 4

Resolva $x$ .

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Etapa 4.1

Encontre todos os valores em que a expressão muda de negativo para positivo, definindo cada fator igual a $0$ . Depois, resolva.

$\cos (x) = 0$

$\tan (x) = 0$

Etapa 4.2

Obtenha o cosseno inverso dos dois lados da equação para extrair $x$ de dentro do cosseno.

$x = \arccos (0)$

Etapa 4.3

Simplifique o lado direito.

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Etapa 4.3.1

O valor exato de $\arccos (0)$ é $\frac{π}{2}$ .

$x = \frac{π}{2}$

Etapa 4.4

A função do cosseno é positiva no primeiro e no quarto quadrantes. Para encontrar a segunda solução, subtraia o ângulo de referência de $2 π$ para determinar a solução no quarto quadrante.

$x = 2 π - \frac{π}{2}$

Etapa 4.5

Simplifique $2 π - \frac{π}{2}$ .

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Etapa 4.5.1

Para escrever $2 π$ como fração com um denominador comum, multiplique por $\frac{2}{2}$ .

$x = 2 π \cdot \frac{2}{2} - \frac{π}{2}$

Etapa 4.5.2

Combine frações.

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Etapa 4.5.2.1

Combine $2 π$ e $\frac{2}{2}$ .

$x = \frac{2 π \cdot 2}{2} - \frac{π}{2}$

Etapa 4.5.2.2

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$x = \frac{2 π \cdot 2 - π}{2}$

Etapa 4.5.3

Simplifique o numerador.

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Etapa 4.5.3.1

Multiplique $2$ por $2$ .

$x = \frac{4 π - π}{2}$

Etapa 4.5.3.2

Subtraia $π$ de $4 π$ .

$x = \frac{3 π}{2}$

Etapa 4.6

Encontre o período de $\cos (x)$ .

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Etapa 4.6.1

O período da função pode ser calculado ao usar $\frac{2 π}{| b |}$ .

$\frac{2 π}{| b |}$

Etapa 4.6.2

Substitua $b$ por $1$ na fórmula do período.

$\frac{2 π}{| 1 |}$

Etapa 4.6.3

O valor absoluto é a distância entre um número e zero. A distância entre $0$ e $1$ é $1$ .

$\frac{2 π}{1}$

Etapa 4.6.4

Divida $2 π$ por $1$ .

$2 π$

Etapa 4.7

O período da função $\cos (x)$ é $2 π$ . Portanto, os valores se repetirão a cada $2 π$ radianos nas duas direções.

$x = \frac{π}{2} + 2 π n, \frac{3 π}{2} + 2 π n$ , para qualquer número inteiro $n$

Etapa 4.8

Obtenha a tangente inversa dos dois lados da equação para extrair $x$ de dentro da tangente.

$x = \arctan (0)$

Etapa 4.9

Simplifique o lado direito.

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Etapa 4.9.1

O valor exato de $\arctan (0)$ é $0$ .

$x = 0$

Etapa 4.10

A função da tangente é positiva no primeiro e no terceiro quadrantes. Para encontrar a segunda solução, some o ângulo de referência de $π$ para determinar a solução no quarto quadrante.

$x = π + 0$

Etapa 4.11

Some $π$ e $0$ .

$x = π$

Etapa 4.12

Encontre o período de $\tan (x)$ .

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Etapa 4.12.1

O período da função pode ser calculado ao usar $\frac{π}{| b |}$ .

$\frac{π}{| b |}$

Etapa 4.12.2

Substitua $b$ por $1$ na fórmula do período.

$\frac{π}{| 1 |}$

Etapa 4.12.3

O valor absoluto é a distância entre um número e zero. A distância entre $0$ e $1$ é $1$ .

$\frac{π}{1}$

Etapa 4.12.4

Divida $π$ por $1$ .

$π$

Etapa 4.13

O período da função $\tan (x)$ é $π$ . Portanto, os valores se repetirão a cada $π$ radianos nas duas direções.

$x = π n, π + π n$ , para qualquer número inteiro $n$

Etapa 4.14

Resolva cada fator para encontrar os valores em que a expressão de valor absoluto passa de negativa para positiva.

$x = \frac{π}{2} + 2 π n, \frac{3 π}{2} + 2 π n$

$x = π n, π + π n$

Etapa 4.15

Consolide as soluções.

$x = \frac{π}{2} + 2 π n, \frac{3 π}{2} + 2 π n, π n, π + π n$

Etapa 4.16

Encontre o domínio de $\frac{\cos (x)}{\tan (x)}$ .

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Etapa 4.16.1

Defina o denominador em $\frac{\cos (x)}{\tan (x)}$ como igual a $0$ para encontrar onde a expressão está indefinida.

$\tan (x) = 0$

Etapa 4.16.2

Resolva $x$ .

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Etapa 4.16.2.1

Obtenha a tangente inversa dos dois lados da equação para extrair $x$ de dentro da tangente.

$x = \arctan (0)$

Etapa 4.16.2.2

Simplifique o lado direito.

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Etapa 4.16.2.2.1

O valor exato de $\arctan (0)$ é $0$ .

$x = 0$

Etapa 4.16.2.3

A função da tangente é positiva no primeiro e no terceiro quadrantes. Para encontrar a segunda solução, some o ângulo de referência de $π$ para determinar a solução no quarto quadrante.

$x = π + 0$

Etapa 4.16.2.4

Some $π$ e $0$ .

$x = π$

Etapa 4.16.2.5

Encontre o período de $\tan (x)$ .

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Etapa 4.16.2.5.1

O período da função pode ser calculado ao usar $\frac{π}{| b |}$ .

$\frac{π}{| b |}$

Etapa 4.16.2.5.2

Substitua $b$ por $1$ na fórmula do período.

$\frac{π}{| 1 |}$

Etapa 4.16.2.5.3

O valor absoluto é a distância entre um número e zero. A distância entre $0$ e $1$ é $1$ .

$\frac{π}{1}$

Etapa 4.16.2.5.4

Divida $π$ por $1$ .

$π$

Etapa 4.16.2.6

O período da função $\tan (x)$ é $π$ . Portanto, os valores se repetirão a cada $π$ radianos nas duas direções.

$x = π n, π + π n$ , para qualquer número inteiro $n$

Etapa 4.16.2.7

Consolide as respostas.

$x = π n$ , para qualquer número inteiro $n$

Etapa 4.16.3

Defina o argumento em $\tan (x)$ como igual a $\frac{π}{2} + π n$ para encontrar onde a expressão está indefinida.

$x = \frac{π}{2} + π n$ , para qualquer número inteiro $n$

Etapa 4.16.4

O domínio consiste em todos os valores de $x$ que tornam a expressão definida.

${x | x \neq π n, x \neq \frac{π}{2} + π n}$ $n$ , para qualquer número inteiro $n$

Etapa 4.17

Use cada raiz para criar intervalos de teste.

$0 < x < \frac{π}{2}$

$\frac{π}{2} < x < π$

$π < x < \frac{3 π}{2}$

$\frac{3 π}{2} < x < 2 π$

Etapa 4.18

Escolha um valor de teste de cada intervalo e substitua esse valor pela desigualdade original para determinar quais intervalos satisfazem a desigualdade.

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Etapa 4.18.1

Teste um valor no intervalo $0 < x < \frac{π}{2}$ e veja se ele torna a desigualdade verdadeira.

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Etapa 4.18.1.1

Escolha um valor no intervalo $0 < x < \frac{π}{2}$ e veja se ele torna a desigualdade original verdadeira.

$x = 1$

Etapa 4.18.1.2

Substitua $x$ por $1$ na desigualdade original.

$\frac{\cos (1)}{\tan (1)} < 0$

Etapa 4.18.1.3

O lado esquerdo $0.34692412$ não é menor do que o lado direito $0$ , o que significa que a afirmação em questão é falsa.

False

Etapa 4.18.2

Teste um valor no intervalo $\frac{π}{2} < x < π$ e veja se ele torna a desigualdade verdadeira.

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Etapa 4.18.2.1

Escolha um valor no intervalo $\frac{π}{2} < x < π$ e veja se ele torna a desigualdade original verdadeira.

$x = 2$

Etapa 4.18.2.2

Substitua $x$ por $2$ na desigualdade original.

$\frac{\cos (2)}{\tan (2)} < 0$

Etapa 4.18.2.3

O lado esquerdo $0.19045274$ não é menor do que o lado direito $0$ , o que significa que a afirmação em questão é falsa.

False

Etapa 4.18.3

Teste um valor no intervalo $π < x < \frac{3 π}{2}$ e veja se ele torna a desigualdade verdadeira.

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Etapa 4.18.3.1

Escolha um valor no intervalo $π < x < \frac{3 π}{2}$ e veja se ele torna a desigualdade original verdadeira.

$x = 4$

Etapa 4.18.3.2

Substitua $x$ por $4$ na desigualdade original.

$\frac{\cos (4)}{\tan (4)} < 0$

Etapa 4.18.3.3

O lado esquerdo $- 0.56454621$ é menor do que o lado direito $0$ , o que significa que a afirmação em questão é sempre verdadeira.

True

Etapa 4.18.4

Teste um valor no intervalo $\frac{3 π}{2} < x < 2 π$ e veja se ele torna a desigualdade verdadeira.

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Etapa 4.18.4.1

Escolha um valor no intervalo $\frac{3 π}{2} < x < 2 π$ e veja se ele torna a desigualdade original verdadeira.

$x = 5$

Etapa 4.18.4.2

Substitua $x$ por $5$ na desigualdade original.

$\frac{\cos (5)}{\tan (5)} < 0$

Etapa 4.18.4.3

O lado esquerdo $- 0.08391093$ é menor do que o lado direito $0$ , o que significa que a afirmação em questão é sempre verdadeira.

True

Etapa 4.18.5

Compare os intervalos para determinar quais satisfazem a desigualdade original.

$0 < x < \frac{π}{2}$ Falso

$\frac{π}{2} < x < π$ Falso

$π < x < \frac{3 π}{2}$ Verdadeiro

$\frac{3 π}{2} < x < 2 π$ Verdadeiro

$0 < x < \frac{π}{2}$ Falso

$\frac{π}{2} < x < π$ Falso

$π < x < \frac{3 π}{2}$ Verdadeiro

$\frac{3 π}{2} < x < 2 π$ Verdadeiro

Etapa 4.19

A solução consiste em todos os intervalos verdadeiros.

$π + π n < x < \frac{3 π}{2} + π n$ ou $\frac{3 π}{2} + π n < x < 2 π + π n$ , para qualquer número inteiro $n$

Etapa 5

Defina o argumento em $\tan (x)$ como igual a $\frac{π}{2} + π n$ para encontrar onde a expressão está indefinida.

$x = \frac{π}{2} + π n$ , para qualquer número inteiro $n$

Etapa 6

A equação é indefinida quando o denominador é igual a $0$ , o argumento de uma raiz quadrada é menor do que $0$ ou o argumento de um logaritmo é menor do que ou igual a $0$ .

${x | x = π n, x = \frac{π}{2} + π n}$ $n$ , para qualquer número inteiro $n$

Etapa 7