Trigonometria Exemplos

$\sin (x) < \frac{1}{2}$

Step 1

Obtenha o seno inverso dos dois lados da equação para extrair $x$ de dentro do seno.

$x < \arcsin (\frac{1}{2})$

Step 2

Simplifique o lado direito.

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O valor exato de $\arcsin (\frac{1}{2})$ é $\frac{π}{6}$ .

$x < \frac{π}{6}$

Step 3

A função do seno é positiva no primeiro e no segundo quadrantes. Para encontrar a segunda solução, subtraia o ângulo de referência de $π$ para determinar a solução no segundo quadrante.

$x = π - \frac{π}{6}$

Step 4

Simplifique $π - \frac{π}{6}$ .

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Para escrever $π$ como fração com um denominador comum, multiplique por $\frac{6}{6}$ .

$x = π \cdot \frac{6}{6} - \frac{π}{6}$

Combine frações.

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Combine $π$ e $\frac{6}{6}$ .

$x = \frac{π \cdot 6}{6} - \frac{π}{6}$

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$x = \frac{π \cdot 6 - π}{6}$

Simplifique o numerador.

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Mova $6$ para a esquerda de $π$ .

$x = \frac{6 \cdot π - π}{6}$

Subtraia $π$ de $6 π$ .

$x = \frac{5 π}{6}$

Step 5

Encontre o período de $\sin (x)$ .

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O período da função pode ser calculado ao usar $\frac{2 π}{| b |}$ .

$\frac{2 π}{| b |}$

Substitua $b$ por $1$ na fórmula do período.

$\frac{2 π}{| 1 |}$

O valor absoluto é a distância entre um número e zero. A distância entre $0$ e $1$ é $1$ .

$\frac{2 π}{1}$

Divida $2 π$ por $1$ .

$2 π$

Step 6

O período da função $\sin (x)$ é $2 π$ . Portanto, os valores se repetirão a cada $2 π$ radianos nas duas direções.

$x = \frac{π}{6} + 2 π n, \frac{5 π}{6} + 2 π n$ , para qualquer número inteiro $n$

Step 7

Use cada raiz para criar intervalos de teste.

$\frac{π}{6} < x < \frac{5 π}{6}$

$\frac{5 π}{6} < x < \frac{13 π}{6}$

$\frac{13 π}{6} < x < \frac{17 π}{6}$

Step 8

Escolha um valor de teste de cada intervalo e substitua esse valor pela desigualdade original para determinar quais intervalos satisfazem a desigualdade.

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Teste um valor no intervalo $\frac{π}{6} < x < \frac{5 π}{6}$ e veja se ele torna a desigualdade verdadeira.

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Escolha um valor no intervalo $\frac{π}{6} < x < \frac{5 π}{6}$ e veja se ele torna a desigualdade original verdadeira.

$x = 2$

Substitua $x$ por $2$ na desigualdade original.

$\sin (2) < \frac{1}{2}$

O lado esquerdo $0.90929742$ não é menor do que o lado direito $0.5$ , o que significa que a afirmação em questão é falsa.

False

Teste um valor no intervalo $\frac{5 π}{6} < x < \frac{13 π}{6}$ e veja se ele torna a desigualdade verdadeira.

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Escolha um valor no intervalo $\frac{5 π}{6} < x < \frac{13 π}{6}$ e veja se ele torna a desigualdade original verdadeira.

$x = 5$

Substitua $x$ por $5$ na desigualdade original.

$\sin (5) < \frac{1}{2}$

O lado esquerdo $- 0.95892427$ é menor do que o lado direito $0.5$ , o que significa que a afirmação em questão é sempre verdadeira.

True

Teste um valor no intervalo $\frac{13 π}{6} < x < \frac{17 π}{6}$ e veja se ele torna a desigualdade verdadeira.

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Escolha um valor no intervalo $\frac{13 π}{6} < x < \frac{17 π}{6}$ e veja se ele torna a desigualdade original verdadeira.

$x = 8$

Substitua $x$ por $8$ na desigualdade original.

$\sin (8) < \frac{1}{2}$

O lado esquerdo $0.98935824$ não é menor do que o lado direito $0.5$ , o que significa que a afirmação em questão é falsa.

False

Compare os intervalos para determinar quais satisfazem a desigualdade original.

$\frac{π}{6} < x < \frac{5 π}{6}$ Falso

$\frac{5 π}{6} < x < \frac{13 π}{6}$ Verdadeiro

$\frac{13 π}{6} < x < \frac{17 π}{6}$ Falso

$\frac{π}{6} < x < \frac{5 π}{6}$ Falso

$\frac{5 π}{6} < x < \frac{13 π}{6}$ Verdadeiro

$\frac{13 π}{6} < x < \frac{17 π}{6}$ Falso

Step 9

A solução consiste em todos os intervalos verdadeiros.

$\frac{5 π}{6} + 2 π n < x < \frac{13 π}{6} + 2 π n$ , para qualquer número inteiro $n$

Step 10