Pré-cálculo Exemplos

$f (x) = \sin (2 x) - \sin (x)$

Etapa 1

Defina $\sin (2 x) - \sin (x)$ como igual a $0$ .

$\sin (2 x) - \sin (x) = 0$

Etapa 2

Resolva $x$ .

Toque para ver mais passagens...

Aplique a fórmula do arco duplo do seno.

$2 \sin (x) \cos (x) - \sin (x) = 0$

Fatore $\sin (x)$ de $2 \sin (x) \cos (x) - \sin (x)$ .

Toque para ver mais passagens...

Fatore $\sin (x)$ de $2 \sin (x) \cos (x)$ .

$\sin (x) (2 \cos (x)) - \sin (x) = 0$

Fatore $\sin (x)$ de $- \sin (x)$ .

$\sin (x) (2 \cos (x)) + \sin (x) \cdot - 1 = 0$

Fatore $\sin (x)$ de $\sin (x) (2 \cos (x)) + \sin (x) \cdot - 1$ .

$\sin (x) (2 \cos (x) - 1) = 0$

Se qualquer fator individual no lado esquerdo da equação for igual a $0$ , toda a expressão será igual a $0$ .

$\sin (x) = 0$

$2 \cos (x) - 1 = 0$

Defina $\sin (x)$ como igual a $0$ e resolva para $x$ .

Toque para ver mais passagens...

Defina $\sin (x)$ como igual a $0$ .

$\sin (x) = 0$

Resolva $\sin (x) = 0$ para $x$ .

Toque para ver mais passagens...

Obtenha o seno inverso dos dois lados da equação para extrair $x$ de dentro do seno.

$x = \arcsin (0)$

Simplifique o lado direito.

Toque para ver mais passagens...

O valor exato de $\arcsin (0)$ é $0$ .

$x = 0$

A função do seno é positiva no primeiro e no segundo quadrantes. Para encontrar a segunda solução, subtraia o ângulo de referência de $π$ para determinar a solução no segundo quadrante.

$x = π - 0$

Subtraia $0$ de $π$ .

$x = π$

Encontre o período de $\sin (x)$ .

Toque para ver mais passagens...

O período da função pode ser calculado ao usar $\frac{2 π}{| b |}$ .

$\frac{2 π}{| b |}$

Substitua $b$ por $1$ na fórmula do período.

$\frac{2 π}{| 1 |}$

O valor absoluto é a distância entre um número e zero. A distância entre $0$ e $1$ é $1$ .

$\frac{2 π}{1}$

Divida $2 π$ por $1$ .

$2 π$

O período da função $\sin (x)$ é $2 π$ . Portanto, os valores se repetirão a cada $2 π$ radianos nas duas direções.

$x = 2 π n, π + 2 π n$ , para qualquer número inteiro $n$

Defina $2 \cos (x) - 1$ como igual a $0$ e resolva para $x$ .

Toque para ver mais passagens...

Defina $2 \cos (x) - 1$ como igual a $0$ .

$2 \cos (x) - 1 = 0$

Resolva $2 \cos (x) - 1 = 0$ para $x$ .

Toque para ver mais passagens...

Some $1$ aos dois lados da equação.

$2 \cos (x) = 1$

Divida cada termo em $2 \cos (x) = 1$ por $2$ e simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Divida cada termo em $2 \cos (x) = 1$ por $2$ .

$\frac{2 \cos (x)}{2} = \frac{1}{2}$

Simplifique o lado esquerdo.

Toque para ver mais passagens...

Cancele o fator comum de $2$ .

Toque para ver mais passagens...

Cancele o fator comum.

$\frac{2 \cos (x)}{2} = \frac{1}{2}$

Divida $\cos (x)$ por $1$ .

$\cos (x) = \frac{1}{2}$

Obtenha o cosseno inverso dos dois lados da equação para extrair $x$ de dentro do cosseno.

$x = \arccos (\frac{1}{2})$

Simplifique o lado direito.

Toque para ver mais passagens...

O valor exato de $\arccos (\frac{1}{2})$ é $\frac{π}{3}$ .

$x = \frac{π}{3}$

A função do cosseno é positiva no primeiro e no quarto quadrantes. Para encontrar a segunda solução, subtraia o ângulo de referência de $2 π$ para determinar a solução no quarto quadrante.

$x = 2 π - \frac{π}{3}$

Simplifique $2 π - \frac{π}{3}$ .

Toque para ver mais passagens...

Para escrever $2 π$ como fração com um denominador comum, multiplique por $\frac{3}{3}$ .

$x = 2 π \cdot \frac{3}{3} - \frac{π}{3}$

Combine frações.

Toque para ver mais passagens...

Combine $2 π$ e $\frac{3}{3}$ .

$x = \frac{2 π \cdot 3}{3} - \frac{π}{3}$

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$x = \frac{2 π \cdot 3 - π}{3}$

Simplifique o numerador.

Toque para ver mais passagens...

Multiplique $3$ por $2$ .

$x = \frac{6 π - π}{3}$

Subtraia $π$ de $6 π$ .

$x = \frac{5 π}{3}$

Encontre o período de $\cos (x)$ .

Toque para ver mais passagens...

O período da função pode ser calculado ao usar $\frac{2 π}{| b |}$ .

$\frac{2 π}{| b |}$

Substitua $b$ por $1$ na fórmula do período.

$\frac{2 π}{| 1 |}$

O valor absoluto é a distância entre um número e zero. A distância entre $0$ e $1$ é $1$ .

$\frac{2 π}{1}$

Divida $2 π$ por $1$ .

$2 π$

O período da função $\cos (x)$ é $2 π$ . Portanto, os valores se repetirão a cada $2 π$ radianos nas duas direções.

$x = \frac{π}{3} + 2 π n, \frac{5 π}{3} + 2 π n$ , para qualquer número inteiro $n$

A solução final são todos os valores que tornam $\sin (x) (2 \cos (x) - 1) = 0$ verdadeiro.

$x = 2 π n, π + 2 π n, \frac{π}{3} + 2 π n, \frac{5 π}{3} + 2 π n$ , para qualquer número inteiro $n$

Consolide $2 π n$ e $π + 2 π n$ em $π n$ .

$x = π n, \frac{π}{3} + 2 π n, \frac{5 π}{3} + 2 π n$ , para qualquer número inteiro $n$

Etapa 3